L¨ohr/Manger/Winter Sommersemester 2011
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I ¨
Ubungsblatt 5¨
Kombinatorik & Elementare Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe* 5.1. (4 Punkte)
(a) Sei Ω := 2X die Potenzmenge einer endlichen Menge X, versehen mit der σ-Algebra A = 2Ω. Sei P die Gleichverteilung auf Ω. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allig (verm¨oge P) gezogene Teilmenge von X eine ungerade Anzahl von Elementen enth¨alt, also
P(
{A∈Ω|#A ungerade}) . (b) Zeige f¨urn, m∈N:
(n+ 1 m+ 1
)
=
∑n l=0
(l m
) . Wie immer ist dabei definitionsgem¨aß (l
m
)= 0 f¨urm > l.
Aufgabe* 5.2 (hypergeometrische Verteilung). (4 Punkte) SeiN, M, n∈Nmitn, M ≤N. Seih= (hk)k=0,...,n,
hk = (M
k
)(N−M
n−k
) (N
n
) ,
der Wahrscheinlichkeitsvektor derhypergeometrischen Verteilung mit ParameternN, M, n.
(a) Zeige, dassh wirklich ein Wahrscheinlichkeitsvektor ist.
(b) In zwei Urnen sind jeweils N = 42 Lose. In der ersten sind M Gewinne und N −M Nieten, in der zweiten sind n Gewinne und N −n Nieten. Du darfst entscheiden, ob Du aus der ersten Urne nLose ziehen willst, oder aus der zweiten M Lose. F¨ur welche Werte von n < M <42 ist welche Urne g¨unstiger?
Aufgabe 5.3 (Anwendung in der Zahlentheorie). (4 Punkte) Die Eulersche φ-Funktion φ:N → N ordnet jeder Zahl n ∈ N die Anzahl der zu n teiler- fremden 1≤k≤nzu, alsoφ(n) := #{
k∈Nk≤n, ggT(n, k) = 1}
. Zeige, dass φ(n)
n = ∏
pPrimteiler vonn
(1−1p) .
Hinweis: Betrachte die Gleichverteilung auf {1, . . . , n} und verwende die Einschluß-Aus- schluß-Formel P(∪
iAi) = ∑
iP(Ai)−∑
i<jP(Ai ∩Aj) +∑
i<j<kP(Ai ∩Aj ∩Ak)− · · ·. Bemerkung: φ(n) gibt die Kardinalit¨at der Einheitengruppe des Rings Z/nZ an.
Aufgabe 5.4. (4 Punkte) (a) Sei T eine Zufallsvariable mit geometrischer Verteilung PT zum Erfolgsparameter p ∈
]0,1]. Berechne den Erwartungswert (Mittelwert) E(T) := ∑
k∈N
k·P(
{T =k}) . Hinweis: Zeige zun¨achst E(T) =∑
k∈NP(
{T ≥k}) .
(b) Als Werbeaktion werden den Schokoriegel einer Firma Sammelbilder ber¨uhmter Ma- thematiker beigef¨ugt. Es gibtnverschiedene Bilder und jedes kommt gleich h¨aufig vor.
Die Anzahl der produzierten Schokoriegel ist∞, daher k¨onnen wir unseren Einkauf als ,,Ziehen mit Zur¨ucklegen” modellieren, obwohl wir die Riegel nat¨urlich essen und nicht zur¨ucklegen. Wie viele Riegel m¨ussen wir im Mittel kaufen, bis wir allenverschiedenen Sammelbilder besitzen?
Mit * gekennzeichnete Aufgaben sind besonders zur Abgabe empfohlen (Hausaufgaben) Abgabe in der ¨Ubung oder in den Briefkasten bei T03 R03 D89
