L¨ohr/Winter Wintersemester 2010/11
Ubungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie II ¨
Ubungsblatt 9¨
Normalverteilungen
Aufgabe 9.1. SeienX, Y unabh¨angig und identisch verteilte, quadratintegrierbareR-wertige ZV. Zeige:X ist genau dann zentriert und normalverteilt, wenn
L
X+Y
√2
= L(X). (1)
Hinweis: Verwende den zentralen Grenzwertsatz.
Aufgabe 9.2. Sei X n-dimensional standard normalverteilt, A ∈ Rd×n, b ∈ Rd und B ∈ Rm×d. Setze Y :=AX+b undZ :=BY.
(a) Berechne im Fall rang(A) =ddie Lebesgue-Dichte von Y.
(b) Berechne die Kovarianzmatrix von Z in Abh¨angigkeit von der Kovarianz Γ vonY. (c) Zeige im fall n= 1, dass f¨ur x >0
x
x2+1e−x22 ≤ √
2π·P(X≥x) ≤ 1xe−x22 .
Aufgabe 9.3. Sei X = (X1, X2) zentrierte, 2-dimensional normalverteilte ZV mit Kovari- anzmatrix Γ = (Γij)i,j=1,2.
(a) Zeige: E(X1 |X2) = Γ12
Γ22
X2.
(b) Zeige: X1 und X2 sind genau dann unabh¨angig, wenn sie unkorreliert sind.
(c) Finde standartnormalverteilte (1-dimensionale) ZV Y, Z, die unkorreliert, aber nicht unabh¨angig sind. Insbesondere hat dann (Y, Z) normalverteilte Marginale, ist aber selbst nicht (2-dimensional) normalverteilt.
Abgabe: Di, 21.12. in der ¨Ubungsstunde Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 14.12. (heute) gibt Vladimir Osipov einen Vortrag ¨uber
Ultra-metric models of protein conformational dynamics
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: 16.00 – 17.00. Raum: S05 T03 B72
