L¨ohr/Winter Wintersemester 2011/12
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 6¨
Martingale & Stoppzeiten
Aufgabe 6.1 (Doob-Zerlegung). (4 Punkte)
(a) Seien Xn, n ∈ N, unabh¨angige, identisch verteilte, integrierbare Zufallsvariablen. Be- stimme die Doob-Zerlegung von (Xn)n∈N (bzgl. der kanonischen Filtration).
(b) Seien Xn,n∈N, unabh¨angige, normalverteilte Zufallsvariablen.Xnhabe Mittelwert 1 und Varianzn. SeiYn:=Qn
k=1Xk. Berechne die Doob-Zerlegung von (Yn)n∈Nbzgl. der von (Xn)n∈N erzeugten Filtration.
Aufgabe 6.2 (Diskretes stochastisches Integral). (6 Punkte) Sei (Xn)n∈NeinF-Martingal, und (Yn)n∈Nein beschr¨ankter,F-adaptierter Prozess. Definiere Zn:=Pn−1
k=1Yk(Xk+1−Xk).
(a) Zeige, dass (Zn)n∈N einF-Martingal ist.
(b) Sei nun E (Xn+1−Xn)2 Fn
= 1 f.s. BerechneE(Zn) undE(Zn2).
Aufgabe 6.3 (Ankunftszeiten als Stoppzeiten). (6 Punkte) (a) Sei (Xt)t≥0R-wertiger stochastischer Prozess mit stetigen Pfaden, alsot7→Xt(ω) stetig
f¨ur alleω∈Ω. SeiA⊆Rabgeschlossen mit AnkunftszeitτA(ω) = inf
t∈R+
Xt(ω)∈ A . Zeige, dass τA eine Stoppzeit (bzgl. der kanonischen Filtration) ist.
Bemerkung: Man kann zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn die Pfade nur rechtsstetig sind und die Limiten von links existieren (c`adl`ag-Pfade).
(b) Finde einen reellwertigen Prozess (Xt)t≥0 und eine messbare Menge A⊆R, so dass τA keine Stoppzeit ist.
Abgabe bis Di, 29.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
