L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 9 ¨
Stetige Wahrscheinlichkeiten & Zufallsgr¨ oßen
Aufgabe 9.1. (4 Punkte)
SeiPein Wahrscheinlichkeitsmaß aufRd mit Dichtef. SeiA1, A2, . . .eine Folge von Ereignissen f¨ur dieT
n∈NAn,S∞
m=1Am (m∈N) undT
n∈N
S∞
m=nAm Ereignisse sind. Zeige:
(a) FallsA1⊇A2⊇ · · ·, so giltP T
n∈NAn
= infn∈NP(An).
(b) P S
n∈NAn
≤P
n∈NP(An) (c) FallsP
n∈NP(An)<∞, so giltP T
n∈N
S∞ m=nAm
= 0.
Bemerkung:Diese Aussage heißt Borel-Cantelli Lemma.
Aufgabe 9.2. (4 Punkte)
(a) Eine Zufallsgr¨oßeXhabe die VerteilungsfunktionF(x) = (x3∧1)∨0 aufR(a∧bist das Mi- nimum unda∨bdas Maximum vonaundb). Berechne die Dichtefund den Erwartungswert E(X) vonX.
(b) Die Zufallsgr¨oße X habe die Dichte f(x) = c 1 + cos(x)
auf [0,1]. Berechne c und die VerteilungsfunktionF vonX.
(c) SeiX eine stetige Zufallsgr¨oße mitE(X) =35 und Dichtef(x) =a+bx2auf [0,1]. Berechne aundb.
Aufgabe 9.3 (Normalverteilung). (4 Punkte)
SeiX standardnormalverteilt, d.h.X hat die Dichtef(x) = (2π)−12e−12x2 aufR. (a) BerechneE(X).
(b) Berechne f¨ura, b∈Rdie Dichte von Y =aX+b.
(c) Berechne die Dichte vonZ=X2.
Bemerkung:Die Verteilung von Z heißt Γ(12,12)-Verteilung.
Bitte wenden!
DieBetaverteilung zu den Parameternrundg (hierr, g∈N) ist eine Verteilung auf [0,1] mit der Dichtefunktion
f(x) = (r+g−1)!
(r−1)!(g−1)!xr−1(1−x)g−1, x∈[0,1].
Aufgabe 9.4 (Betaverteilung). (4 Punkte)
SeienU1, U2, . . . , Un unabh¨angig und gleichverteilt auf [0,1].
(a) Sei Nn die Zufallsgr¨oße, die angibt, wie viele der Ui kleiner sind als U1. Zeige f¨ur k ∈ {0, . . . , n−1} undp∈[0,1] folgendes:P(Nn=k) =n1 und
P(U1≤p|Nn=k) =n n−1
k Z p
0
tk(1−t)n−k−1dt.
(b) SeiV1die kleinste derUi,V2die zweitkleinste und allgemeinVk diek-t kleinste. Zeige, dass Vk betaverteilt zu den Parametern kundn−k+ 1 ist.
Hinweis:Zeige zun¨achst, dass P(Vk ≤p) =P(U1≤p|U1=Vk).
Abgabe bis sp¨atestens Di, 17.12. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am10.12.gibt Mikhail Urusov (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber On the processes that can be embedded in a geometric Brownian motion
Abstract: A process is equivalent to a time-change of a geometric Brownian motion if and only if it is a nonnegative supermartingale.
Am17.12.gibt Angelika Rohde (Ruhr-Universit¨at Bochum) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
