Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 4¨
Erwartungswert & Varianz
Aufgabe 4.1. (4 Punkte)
(a) Sei X≥0 eine reellwertige Zufallsvariable. Zeigen Sie
E(X) = Z ∞
0
P({X > x}) dx.
(b) Sei X geometrisch verteilt zum Parameterp. Berechnen SieE(X) und Var(X).
(c) Sei X Poisson-verteilt zum Parameter λ. Berechnen Sie Var(X).
(d) Sei X exponentialverteilt mit Rateλ. Berechnen Sie Var(X).
Aufgabe 4.2 (Darstellung als Funktion einer gleichverteilten ZV). (4 Punkte) Sei µein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Rmit Verteilungsfunktion Fµ. Definiere
Gµ: ]0,1[→R, Gµ(x) := inf
t∈R
Fµ(t)≥x . (a) Zeigen Sie, dass Gµmessbar ist.
(b) Sei λdas Lebesguemaß auf ]0,1[. Berechnen Sie das Bildmaß λGµ von λunter Gµ. (c) Sei X eine reellwertige, und U eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsvariable. Finden Sie
eine messbare Funktion gX, so dass Y :=gX(U) dieselbe Verteilung hat wie X.
Bemerkung: Wenn man mit einem Zufallsgenerator eine auf [0,1] gleichverteilte ZV erzeugen kann, kann man somit verm¨oge gX auch jede andere reellwertige ZV X er- zeugen (falls man gX berechnen kann).
(d) SeiZeine zum Parameter 1 exponentialverteilte, undBeine zum Parameter12 Bernoulli- verteile Zufallsvariable, die unabh¨angig sind. SetzeX:=B·Z. Berechnen Sie die Funk- tion gX aus Teil (c).
Bitte wenden!
Aufgabe 4.3 (Transformationssatz & Dichten). (4 Punkte) Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X: Ω → E eine Zufallsvariable mit Werten in einem messbaren Raum (E,B), undf:E →Reine messbare Funktion.
(a) Zeigen Sie: Der Erwartungswert von f ◦X existiert genau dann, wenn das Integral R fdPX existiert. In diesem Falle gilt
E f(X)
= Z
E
f dPX.
(b) X habe nun die Dichte g bezgl. eines Maßes µ auf (E,B). Zeigen Sie: falls der Erwar- tungswert existiert gilt
E f(X)
= Z
E
f·gdµ.
Aufgabe 4.4 (Gleichverteilung auf der Cantormenge). (4 Punkte) Sei h1, h2: [0,1]→[0,1] mit h1(x) = x3 und h2(x) = x+23 . Sei X eine [0,1]-wertige Zufallsva- riable mit
P({X∈A}) = 12P
h1(X)∈A +12P
h2(X)∈A f¨ur A∈ B([0,1]). Berechnen Sie E(X) und Var(X).
Bemerkung: Die Existenz von X darf vorausgesetzt werden. Die Verteilung von X heißt ,,Gleichverteilung auf der Cantormenge”.
Abgabe Mi, 02.05.2018 in der ¨Ubung
