Lineare Algebra1für Lehramt an Gymnasien Übungsblatt7
Caroline Lasser, Ilja Klebanov 27. November2012
Bitte schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe (beispielsweise Mi8-10Uhr) oben auf ihre Abgabe und geben Sie keine losen Blätter ab (Tackern/Büroklammer/...).
Aufgabe 1
(Lineare Unabhänigkeit)Seien V ein K-Vektorraum, v1, . . . ,vn ∈ V, n ≥ 2, paarweise verschieden und M = {v1, . . . ,vn}. Beweisen Sie:
Mist genau dann linear abhängig, wennvj ∈ span{v1, . . . ,vj−1,vj+1, . . . ,vn}für einj ∈ {1, . . . ,n}gilt.
Aufgabe 2
(Lineare Unabhängigkeit)Es seiKein Körper undVeinK-Vektorraum. Ferner seien vier linear unabhängige Vektoren v1, . . . ,v4ausVgegeben. Sind dann auch die Vektoren
w1=v1+v2, w2= 1
2(v1+v2+v3+2v4), w3=v2+3v4, w4=v3−v4 linear unabhängig?
Aufgabe 3
(Lineare Unabhängigkeit von Polynomen und Funktionen) Beweisen oder widerlegen Sie:(a) {tn |n∈N}ist linear unabhängig inK[t].
(b) {sin(2nx)|n∈N}ist linear unabhängig in Abb(R,R).
Aufgabe 4
(die Ebene)Wir betrachten den R-VektorraumR2. Geben Sie eine 1000-elementige Teilmenge M ⊆ R2 an, welche die Eigenschaft hat, dass jede zweielementige Teilmenge von M linear unabhängig inR2ist, und skizzieren Sie diese.
Zusatz: Wie groß kann so eine Menge sein?
