3.Aufgabe 2.Aufgabe 1.Aufgabe 10.¨UbungAlgebraI TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATBERLIN

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TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Sommer 09 Fakult¨at II – Institut f ¨ur Mathematik

Dozent: Prof. Dr. F. Heß WM: G. M¨ohlmann

www.math.tu-berlin.de/˜hess/algebra1-ss2009

10. ¨ Ubung Algebra I

1. Aufgabe

Es seiRein faktorieller Ring. Zeigt folgenden Aussagen:

(a) Jedesx∈R\{0}ist nur in endlich vielen Hauptidealen vonRenthalten.

(b) Jede aufsteigende Kette von Hauptidealen wird station¨ar.

(5 Punkte)

2. Aufgabe

(a) Seif :R→Seine Ringepimorphismus der RingeRundSund seiRein Ring, bei dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Zeigt, dass dann auch jedes Ideal vonSein Hauptideal ist.

(b) Gilt diese Aussage auch, wennf nur ein Ringhomomorphismus ist?

(c) Gebt17nicht isomorphe Hauptidealringe an? Gibt es noch mehr als diese17?

(5 Punkte)

3. Aufgabe

Zeigt, dass der RingZzusammen mit der Abbildungv : Z → Z^≥0, x7→ x² ein euklidischer Ring ist. Gebt eine Abbildungw:Z→Z^≥0 an, dieZnicht zu einem euklidischen Ring macht.

(3 Punkte)

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4. Aufgabe

(a) Eine Abbildung| · |: Q−→R^≥0mit den Eigenschaften (i) |x| = 0 ⇔ x = 0

(ii) |x·y | = |x| · |y|

(iii) |x+y| ≤ max{|x|, |y|}

f¨ur allex, y ∈ Qnennt man Bewertung. Zeigt, dassR := {x ∈ Q | |x| ≤ 1} ein lokaler Ring ist und gebt das maximale Ideal an. Man nennt den RingRBewertungsring.

(b) F¨ur eine feste Primzahlp ∈ Nundx ∈Q\{0}bezeichne ν_p(x) ∈Zdenp-Anteil von x, d.h.

x=p^ν^p^(x)^a_b mitp-abunda, b∈Z. Zeigt, dass

| · |_p: Q−→R^≥0, |x|_p :=

½ 0f¨urx= 0 p^−v(x)sonst

eine Bewertung ist. Bestimmt f¨ur p ∈ N den Bewertungsring und das maximale Ideal. Wie sehen die Elemente des Bewertungsringes und des maximalen Ideals aus?

(7 Punkte)

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