( )= [ ] → [ ] Aufgabe 4 = = × = ×{ − } ∈ = → Aufgabe 3 → → ◦ → → → → → ◦ = → → [ ] Aufgabe 2 ◦ = ◦ ◦ ( ◦ )=( ◦ ) ◦ → → → Aufgabe 1

Lineare Algebra1für Lehramt an Gymnasien Übungsblatt1

Caroline Lasser, Ilja Klebanov 16. Oktober2012

Bitte schreiben Sie vorne auf ihre Abgabe unbedingt den Termin des Tutoriums, wel- ches Sie besuchen werden, hin (beispielsweise Mi8-10Uhr), damit wir Ihnen die korri- gierte Lösung zurückgeben können!

Aufgabe 1

Es seien f : A → B, g : B → C, h : C → D Abbildungen. Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind (Beweis oder Gegenbeispiel).

(a) Es gilt das Assoziativgesetz: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f. (b) Es gilt das Kommutativgesetz: g◦f = f◦g.

Aufgabe 2

(a) Ist f :A→Binjektiv, so ist f :A→ f[A]bijektiv.

(b) Ist f :A→Bbijektiv, so gibt es eing:B→Abijektiv mitg◦f =idA. (c) Ist f :A→Bsurjektiv, so existiert ein injektivesg:B→A.

(d) Sind f :A→B, g:B→Cbijektiv, so istg◦f :A→Cbijektiv.

Aufgabe 3

Finden Sie Surjektionen fi:N→Aifür die folgenden Mengen Ai: (a) A₁=_Z

(b) A₂=_N× {0, . . . ,n−1}für ein beliebigesn∈_N (c) A3=_N×_N

(d) A₄=_Q

Aufgabe 4

Zeichnen Sie drei Funktionen f₁,f2,f3:[0, 1]→[0, 1]mit den folgenden Eigenschaften:

(a) f₁ist injektiv, aber nicht surjektiv.

(b) f2ist surjektiv, aber nicht injektiv.

(c) f3ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

Diskutieren Sie diese Eigenschaften anschaulich an den Graphen.

(d) Die Funktionen f1,f2,f3sollen nun alle die Zuordnungsvorschrift f(x) = x² haben, dafür dürfen ihre Definitions- und Wertebereiche frei gewählt werden. Kann man diese so wählen, dass die Funktionen die obigen Eigenschaften erfüllen?