Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik

Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018

Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik

Ubungsblatt 2¨

Mengensysteme & messbare Funktionen

Aufgabe 2.1 (Gegenbeispiele). (4 Punkte)

(a) Sei A die Menge derjenigen Teilmengen A von [0,1], deren Indikatorfunktion 1_A Rie- mannintegrierbar ist. Zeigen Sie, dass Aeine Algebra aber keine σ-Algebra ist.

Hinweis:Aus der Analysis ist bekannt, dass das Produkt zweier Riemannintegrierbarer Funktionen wieder Riemannintegrierbar ist.

Bemerkung: Die Mengen aus A heißen Jordanmessbar.

(b) Geben Sie zweiσ-Algebren auf derselben Menge Ω an, deren Vereinigung keineσ-Alge- bra ist.

(c) Finden Sie ein Dynkin-System, das keine σ-Algebra ist.

Aufgabe 2.2 (Von Partitionen erzeugte Mengensysteme). (4 Punkte) SeiI eine Menge undπ = (π_i)_i∈I eine Partition von Ω, das heißt π_i∩π_j =∅ f¨ur i6=j, und S

i∈Iπ_i = Ω.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur die vonπ erzeugte σ-Algebra σ(π) :=σ({π_i |i∈I}) gilt:

σ(π) = n [

i∈J

π_i

J ⊆I mitJ abz¨ahlbar oderI\J abz¨ahlbaro .

(b) Bestimmen Sie das von π erzeugte Dynkin-Systemδ(π).

(c) Bestimmen Sie die von π erzeugte Topologie τ(π). Stimmen τ(π) und σ(π) im Allge- meinen ¨uberein?

Bitte wenden!

Aufgabe 2.3 (Folgen von Mengen). (4 Punkte) Es sei (An)n∈N eine Folge von MengenA_n⊆Ω. Das Komplement einer Menge B sei ∁B :=

Ω\B. Der untere bzw. obere Mengenlimes der Folge (An)_n∈N ist definiert als die Menge A∗ := lim inf

n→∞ A_n := [

m∈N

\

n≥m

A_n bzw. A^∗ := lim sup

n→∞

A_n := \

m∈N

[

n≥m

A_n.

(a) Beschreibe (verbal), welche Elemente in A∗ bzw.A^∗ liegen.

(b) Zeigen Sie: A_∗ ⊆A^∗.

(c) Zeigen Sie: ∁A∗= lim sup_n→∞(∁A_n), und∁A^∗ = lim infn→∞(∁A_n).

(d) Zeigen Sie, dass f¨ur ω∈Ω gilt:

1_A

∗(ω) = lim inf

n→∞

1_A

n(ω) und 1_A∗(ω) = lim sup

n→∞

1_A

n(ω).

Hierbei bezeichnet

”lim sup“ bzw.

”lim inf“ die Begriffe f¨ur Zahlenfolgen.

Rsei, sofern nicht anders angegeben, mit der Borel-σ-AlgebraB=B(R) =σ ]a, b[

a < b versehen.

Aufgabe 2.4 (messbare Funktionen). (4 Punkte)

(a) Sei f:R→Rmonoton. Zeigen Sie, dassf messbar ist.

(b) Sei I eine abz¨ahlbare Menge und π = (π_i)_i∈I eine Partition einer Menge Ω. Sei A :=

σ(π). Welche Funktionen f: Ω →R sind A-B-messbar? (Geben Sie also ein m¨oglichst einfaches, notwendiges und hinreichendes Kriterium f¨ur Messbarkeit in dieser Situation an)

(c) Sei g:R→R,g(x) =|x|undA=σ(g). Welche Funktionenf:R→Rsind A-B-mess- bar?

(d) Sei A:=σ {x}

x∈R . Welche Funktionenf:R→R sindA-B-messbar?

Abgabe Mi, 18.04. in der ¨Ubung