L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 7 ¨
Erzeugendenfunktion & Irrfahrt
Aufgabe 7.1. (4 Punkte)
(a) SeiX Poisson verteilt zum Parameterλ >0. Berechne die ErzeugendenfunktionGX vonX. (b) Sei X negativ binomialverteilt zu den Parametern r ∈ N und p ∈ ]0,1]. Berechne die
ErzeugendenfunktionGX von X.
Hinweis: Verwende, dass sich X als Summe unabh¨angiger, geometrisch verteilter Zufalls- gr¨oßen schreiben l¨asst.
(c) SeiX eine Zufallsgr¨oße mit Werten inN0,a, b∈RundY :=aX+b. Dr¨ucke die Erzeugen- denfunktionGY von Y durch die ErzeugendenfunktionGX vonX aus.
(d) Sei X binomialverteilt mit Parametern n ∈ N und p ∈ ]0,1], sowie Y unabh¨angig von X und geometrisch verteilt zum Parameter q ∈ ]0,1]. Gib die Erzeugendenfunktion von Z =n+Y −X an.
Aufgabe 7.2. (4 Punkte)
SeienN, X1, X2, . . . unabh¨angige Zufallsgr¨oßen mit Werten inN0, wobei alleXn dieselbe Vertei- lung mit Erzeugendenfunktion GX besitzen. GN sei die Erzeugendenfunktion von N. Definiere S := PN
k=1Xk, also S(ω) = PN(ω)
k=1 Xk(ω) (f¨ur ω mit N(ω) = 0 gilt insbesondere S(ω) = 0).
Zeige, dass sich die ErzeugendenfunktionGS vonS als GS = GN◦GX
schreiben l¨asst.
In den folgenden beiden Aufgaben sei Sn die einfache Irrfahrt auf Z, also S0 = 0 und Sn = Pn
k=1Xk mit X1, . . . , Xn unabh¨angig und gleichverteilt auf{−1,1}.
Aufgabe 7.3. (4 Punkte)
(a) BerechneE(S2n).
Hinweis:Berechne zuerst Var(Sn).
(b) Zeige f¨ur allen∈N
E |Sn|
=
n−1
X
k=0
P(Sk= 0).
Hinweis:Bedinge aufSn−1 und verwende vollst¨andige Induktion.
Bitte wenden!
Aufgabe 7.4. (4 Punkte) (a) Zeige, dass
P(S1· · · · ·Sn6= 0) = 1nE |Sn| . (b) Zeige, dass
E |Sn|
= nP(Sn = 0).
f¨ur alle geradenn∈N. Gilt die Aussage auch f¨ur ungeraden?
(c) Wir k¨onnen an folgendem Spiel teilnehmen: Eine (faire) M¨unze wird n mal geworfen, mit n∈Ngerade. Wenn genauso oft Zahl wie Kopf kommt, gewinnen wir eine Schokoladentorte.
Nun erhalten wir das Angebot, das Spiel wie folgt zu modifizieren. Es wird zun¨achst aus einer Urne mit n Zetteln mit den Aufschriften 0 bis n−1 zuf¨allig ein Zettel gezogen und dann statt n-mal nur so oft geworfen, wie auf dem Zettel steht. Wieder erhalten wir die Schokoladentorte, wenn dabei genauso oft Kopf wie Zahl f¨allt. F¨ur welche n lohnt es sich, auf das Angebot einzugehen?
Hinweis:Verwende (b) und Aufgabe 7.3.
(d) SeiT die erste R¨uckkehrzeit nach 0, alsoT = inf{k∈N|Sk = 0}. Zeige, dass
P(T = 2n) = 1 2n−1
2n n
2−2n.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 03.12. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am26.11.findetkeinVortrag statt.
Am03.12.gibt Volker Kr¨atschmer (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
