L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 11 ¨
Galton-Watson Prozess, Poisson-Prozess & eine erste Statistik
Aufgabe 11.1. (4 Punkte)
Sei (Zn)n∈N0 ein Galton-Watson Prozess (=Verzweigungsprozess) mitZ0:= 1, dessen Nachkom- menverteilung eine Poissonverteilung mit Parameterλ >0 ist.
(a) Berechne die erwartete Gesamtzahl an Individuen, alsoE P
n∈N0Zn . (b) Berechne f¨urλ∈1
2,1,2 log(2) jeweils die ¨UberlebenswahrscheinlichkeitP(Zn >0∀n∈N).
Aufgabe 11.2. (4 Punkte)
Gib einen Galton-Watson Prozess (Zn)n∈N0 mit den folgenden Eigenschaften an:
Z0 = 1, 0 < P(Z1>0) ≤ 1001 und P(Zn >0∀n∈N|Z1>0) ≥ 10099.
Aufgabe 11.3 (Wartezeitparadox). (4 Punkte)
Sei N(t) ein Poisson-Prozess mit Intensit¨at (=Rate) 1. Sei (Xn)n∈N die zugeh¨orige Folge expo- nentialverteilter Wartezeiten, d.h. f¨ur Sn := Pn
k=1Xk gilt Sn = inf{t ≥ 0 | N(t) = n} und N(t) = sup{n∈N0|Sn≤t}. Wir interessieren uns f¨ur die L¨ange
L(t) := XN(t)+1 = SN(t)+1−SN(t)
desjenigen Intervalls zwischen zwei Ereignissen, das ein vorgegebenest≥0 enth¨alt (falls beitein Ereignis stattfindet, das Intervall rechts davon).
(a) Berechne die Verteilungen vonL(0) und vonL S42 . (b) Argumentiere, obE L(t)
f¨ur gegebenes (deterministisches!)t >0 kleiner 1, genau 1, oder gr¨oßer 1 ist.
(c) BerechneE L(t) .
Hinweis:Zerlege L(t)in Ut:=t−SN(t) und Vt:=SN(t)+1−t.
Aufgabe 11.4 (B¨urgerentscheid zur Messe). (4 Punkte) Der Ausgang des B¨urgerentscheids zum Messe-Umbau, der am 19. Januar stattfindet, soll durch eine Umfrage prognostiziert werden. Dazu werden so lange zuf¨allig gew¨ahlte Leute befragt, bis eine (vorher festgelegte) Anzahl n von Leuten angibt, dass sie abstimmen werden. Fallsk davon mit ,,ja” stimmen wollen, ist unsere Prognoseq:=nk. Der tats¨achliche (unbekannte) Anteil der W¨ahler die mit ,,ja” stimmen werden (unter allen die abstimmen) seip∈]0,1[. Obwohl dies unrealistisch ist, nehmen wir an, dass wir die Leute v¨ollig zuf¨allig und unabh¨angig von ihrer Meinung (mit ,,zur¨ucklegen”) ausw¨ahlen konnten, und alle auch tats¨achlich so abstimmen wie angegeben.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler der Prognose mehr als zehn Prozentpunkte betr¨agt, alsoP |p−q|>101
, in den F¨allenn= 10 undp= 12, sowien= 10 undp=101.
Bitte wenden!
(b) Verwende die Normalenapproximation (also die Approximation durch eine Normalverteilung, die sich aus dem zentralen Grenzwertsatz ergibt) um abzusch¨atzen, wie groß n gew¨ahlt werden muss, damit die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler der Prognose mehr als f¨unf Prozentpunkte betr¨agt, auf jeden Fall unter zehn Prozent liegt, egal welchen Wertphat.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 21.01. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am14.01.gibt Loren Coquille (Universit¨at Bonn) einen Vortrag ¨uber Gaussian free field with disordered pinning onZd, d≥2
Am21.01.gibt Alexander Kulikov (Moscow Institute of Physics and Technology) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
