Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 13¨
Schwache Konvergenz
Aufgabe 13.1. (3 Punkte)
F¨ur a ∈ R und v > 0 sei Na,v die Normalverteilung mit Mittelwert a und Varianz v, also dasjenige Maß aufRmit Dichtefa,v(x) = √1
2πve−21v(x−a)2 bez¨uglich des Lebesgue-Maßes. F¨ur v = 0 setzen wirNa,0=δa. Zeigen Sie f¨ur an∈R,vn∈R+ mitan→a undvn→v dass
Nan,vn
−→ Nw a,v.
Aufgabe 13.2 (Skalierungslimes geometrischer Verteilungen). (5 Punkte) Sei c >0 und Xn geometrisch verteilt mit Parameter pn := min{nc,1}. Betrachte die ska- lierten Zufallsvariablen Yn := Xn
n .
(a) Zeigen Sie, dass die Yn in Verteilung gegen eine Zufallsvariable Y konvergieren, und bestimmen Sie die Verteilung vonY.
(b) Konvergieren die Verteilungen PYn auch stark?
Aufgabe 13.3 (Schwache Konvergenz auf diskreten R¨aumen). (4 Punkte) Seien µ, µn, n ∈ N, Wahrscheinlichkeitsmaße auf N (mit Euklidischer Metrik). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen ¨aquivalent sind:
(a) (µn)n∈Nkonvergiert schwach gegen µ.
(b) (µn)n∈Nkonvergiert stark gegenµ, also µn(A) −→
n→∞
µ(A) ∀A⊆N. (c) dTV(µn, µ) := supA⊆N
µn(A)−µ(A) −→
n→∞
0.
Bemerkung: Diese Konvergenz heißt Variationskonvergenz.
Bitte wenden!
Aufgabe 13.4 (stetige Markov-Kerne). (4 Punkte) SeienEi,i= 1,2 metrische R¨aume,K ein Markov-Kern vonE1 nachE2. F¨ur ein Wahrschein- lichkeitsmaßµauf E1 definieren wir das Wahrscheinlichkeitsmaß µK aufE2 durch
µK(A) :=
Z
K(x, A)µ(dx) ∀A∈ B(E1).
Ferner definieren wir f¨ur jede beschr¨ankte, messbare Funktion f:E2 → R eine Funktion Kf:E1 →Rdurch
Kf(x) :=
Z
f(y)K(x,dy) ∀x∈E1. (a) Zeigen Sie: Kf ist messbar und
Z
f d(µK) = Z
Kf dµ.
(b) Sei M1(Ei), i= 1,2, die Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf Ei. Zeigen Sie, dass die folgenden Bedingungen an K ¨aquivalent sind:
1. F¨ur jede Folge (xn)n∈Nin E1 mitxn→x∈E1 gilt K(xn,·)−→w K(x,·).
Bemerkung: Anders ausgedr¨uckt: Die Funktion E1 → M1(E2), x 7→ K(x,·) ist stetig wenn wir M1(E2) mit der Topologie der schwachen Konvergenz versehen.
2. F¨ur jede Folge (µn)n∈N inM1(E1) mit µn−→w µ∈ M1(E1) gilt µnK −→w µK.
Bemerkung: Die FunktionM1(E1)→ M1(E2), µ7→µK ist stetig.
3. F¨ur allef ∈ Cb(E2) gilt Kf ∈ Cb(E1).
Bemerkung: Ein Markov-Kern, der diese Bedingungen erf¨ullt heißt stetig.
Abgabe Mi, 04.07.2018 in der ¨Ubung
