Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik

L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14

Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik

Ubungsblatt 4 ¨

Verteilungsfunktion & Erwartungswert

Alle Zufallsvariablen (= Zufallsgr¨oßen) seien auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,P) definiert. DerErwartungswert einer (R-wertigen) ZufallsvariableX mit Wahrscheinlich- keitsmassefunktionpX ist

E(X) := X

x∈R

x·pX(x) = X

ω∈Ω

X(ω)·P {ω} ,

sofern dieser Ausdruck wohldefiniert ist.

Aufgabe 4.1. (4 Punkte)

SeiX eine Zufallsvariable mit VerteilungsfunktionF, sowiea, b∈R. (a) Berechne die Verteilungsfunktion vonY =aX+b.

(b) Berechne die Verteilungsfunktion vonY =X².

(c) Sei Y eine von X unabh¨angige Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion FY. Berechne die Verteilungsfunktion von Z=XY.

(d) SeienX undY Zufallsvariablen mit VerteilungsfunktionenFX bzw.FY. Zeige, dassX und Y genau dann unabh¨angig sind, wenn

P(X ≤x, Y ≤y) = FX(x)F^Y(y) ∀x, y∈R.

Aufgabe 4.2. (4 Punkte)

Auf einer Party gibt es einen besonders leckeren Schokopudding. Ein h¨oflicher Partygast kommt in regelm¨aßigen Abst¨anden zum Buffet und will sich von dem Pudding nehmen; da er h¨oflich ist nat¨urlich nicht alles, sondern nur die H¨alfte von dem, was noch da ist. Jedes Mal passiert (un- abh¨angig von allem zuvor) folgendes: mit Wahrscheinlichkeit ¹2 war zwischen dem vorhergehenden Buffetbesuch und dem aktuellen (bzw. vor dem ersten) ein unh¨oflicher Gast am Buffet und hat den ganzen Schokopudding verschlungen. Falls noch Pudding da ist, steht mit Wahrscheinlichkeit

1

2 gerade ein anderer h¨oflicher Gast am Buffet und nimmt sich die H¨alfte des noch vorhandenen Puddings. Da unser Protagonist nicht warten will, geht er in diesem Fall unverrichteter Dinge wie- der. Ansonsten nimmt er sich planm¨aßig die H¨alfte des noch vorhandenen. Dies sind die einzigen drei M¨oglichkeiten, wie die Puddingmenge reduziert wird, und die Party geht nat¨urlich mindestens so lange, bis aller Pudding weg ist. SeiX ∈[0,1] der Anteil des Schokopuddings, der letztendlich im Magen unseres Protagonisten gelandet ist, undF die Verteilungsfunktion vonX.

(a) BerechneF(0),F(¹₂) undF(1).

(b) Berechne die WahrscheinlichkeitsmassefunktionpX vonX.

(c) Zeige, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen vonF dicht in [0,1] liegt.

(d) Berechne den ErwartungswertE(X) vonX.

Bitte wenden!

Aufgabe 4.3. (4 Punkte) (a) Eine faire M¨unze werde 42-mal unabh¨angig geworfen. Am Anfang haben wir 100¤, immer wenn Kopf kommt verlieren wir 1¤, wenn Zahl kommt gewinnen wir 1¤. SeiX die Anzahl Euros, die wir am Ende des Spiels besitzen. Berechne den Erwartungswert vonX.

(b) SeiX eine Zufallsvariable mit Werten inN₀. Zeige E(X) = X

n∈N

P(X ≥n).

(c) Ein normaler W¨urfel werde n-mal geworfen undX sei das Maximum der W¨urfe. Berechne den Erwartungswert E(X).

Aufgabe 4.4. (4 Punkte)

(a) SeiX zum Parameter p∈]0,1] geometrisch verteilt (alsoP(X =k) =p(1−p)^k−1,k∈N).

Berechne den Erwartungswert vonX.

(b) Als Werbeaktion werden den Schokoriegeln einer Firma Sammelbilder ber¨uhmter Mathema- tiker beigef¨ugt (je eins pro Riegel). Es gibtn∈Nverschiedene Bilder und jedes kommt gleich h¨aufig vor. Die Anzahl der produzierten Schokoriegel ist unendlich groß, daher k¨onnen wir unseren Einkauf als ,,Ziehen mit Zur¨ucklegen” modellieren, obwohl wir die Riegel nat¨urlich essen und nicht zur¨ucklegen. Wie viele Riegel m¨ussen wir im Mittel kaufen (gesucht ist also der Erwartungswert), bis wir alle nverschiedenen Sammelbilder besitzen?

Abgabe bis sp¨atestens Di, 12.11. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer

Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:

Am05.11.gibt Johannes Ruf (University of Oxford) einen Vortrag ¨uber

Supermartingales as Radon-Nikodym densities, Novikov’s and Kazamaki’s criteria, and the distribution of explosion times

Abstract: I will show how certain countably and finitely additive measures can be associated to a given nonnegative supermartingale. I will review existence and (non-)uniqueness results for such measures. In the second part of my talk, I will give a new proof for the famous criteria by Novikov and Kazamaki, which provide sufficient conditions for the martingale property of a nonnegative local martingale. I will focus on the situation when jumps are present. If time permits, I will then illustrate how a generalized Girsanov formula can be used to compute the distribution of the explosion time of a weak solution to a stochastic differential equation.

This presentation is based on joint papers with Nicolas Perkowski, Martin Larsson, and Ioannis Karatzas.

Am12.11.gibt Jordan Stoyanov (Newcastle University) einen Vortrag ¨uber Moment (in)determinacy of probability distributions: recent progress Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03