Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 8¨
0-1 Gesetze & Verwandte von Chebyshev
Aufgabe 8.1. (4 Punkte)
Eine M¨unze mit Werten in {K, Z} und Wahrscheinlichkeit 13 f¨ur K werde unendlich oft unabh¨angig geworfen. SeiXn das Resultat des n-ten Wurfs und
An := {Xn+1 =Xn+2 =· · ·=Xn+⌈log(n)⌉=K}, n∈N,
das Ereignis, dass nach demn-ten Wurf mindestens log(n)-mal in FolgeKkommt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dies f¨ur unendlich viele n passiert.
Aufgabe 8.2. (4 Punkte)
Sei (Xn)n∈N0 Folge unabh¨angiger,R-wertiger Zufallsvariablen.
(a) Zeigen Sie, dass dieR-wertigen Zufallsvariablen lim supn→∞Xnund lim infn→∞Xnfast sicher konstant sind.
(b) Sei nun Sn := Pn
k=1Xk. Zeigen Sie, dass auch lim supn→∞ 1
nSn und lim infn→∞ 1 nSn
fast sicher konstant sind.
Aufgabe 8.3 (Paley-Zygmund Ungleichung). (4 Punkte) SeiX∈L2(P) mitE(X)≥0. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses{X > c}f¨ur c≤E(X) mit Hilfe von Erwartungswerten nach unten absch¨atzen.
(a) Zeigen Sie mit Hilfe der Chebyshev-Ungleichung, dass f¨ur a∈[0,1[
P
X > aE(X) ≥ (1−a)−2
1 + (1−a)2−E(X2) E(X)2
. (1)
(b) Die Schranke (1) ist oft schlecht, da M := E(E(XX2)2) relativ groß sein kann, oder anahe 1 betrachtet werden. Zeigen Sie die n¨utzlichere Ungleichung von Paley-Zygmund:
P
X > aE(X) ≥ (1−a)2E(X)2 E(X2).
Hinweis:Es ist bekannt, dass L2(P),h·,·i
mit hX, Yi=E(XY) ein Hilbertraum ist.
Insbesondere gilt die Cauchy-Schwarz Ungleichung.
Bemerkung:Die Schranke ist z.B. immer besser als (1)falls M ≥1+12√
2oder a≥ 13. Bemerkung: Der Spezialfall a= 0 wird auch als 2. Momentenmethode bezeichnet.
Bitte wenden!
Aufgabe 8.4 (Kolmogorov Ungleichung). (4 Punkte) SeienX1, X2, X3, . . .∈L2(P) unabh¨angig mit E(Xn) = 0, sowie Sn:=Pn
k=1Xk. Zeigen Sie, dass dann die folgende Versch¨arfung der Chebyshev Ungleichung gilt:
Pn
1≤maxk≤n|Sk| ≥xo
≤ x12Var(Sn) ∀n∈N, x >0.
Hinweis:Sei Ak:=
|Sk| ≥x, |Si|< x, i < k . Zeigen Sie zun¨achst x2P(Ak)≤E(1A
kSn2).
Abgabe Mi, 30.05.2018 in der ¨Ubung
