L¨ohr/Winter Wintersemester 2013/14
Ubungen zur Vorlesung ¨ Grundlagen der Stochastik
Ubungsblatt 8 ¨
Gesetz der Großen Zahl, ZGS & Arkussinusgesetz
Aufgabe 8.1 (Gesetz der Großen Zahl). (4 Punkte)
Seien X1, . . . , Xn unabh¨angig und Poissonverteilt mit Parameter 1, sowieY1, . . . , Yn unabh¨angig und geometrisch verteilt mit Parameter 12. Wir werfen (unabh¨angig von denXk undYk) eine faire M¨unze mit ErgebnisZ∈ {0,1}und definierenSn als die Summe derXk fallsZ = 1 und sonst als Summe derYk. AlsoSn:=ZPn
k=1Xk+ (1−Z)Pn
k=1Yk. (a) BestimmeE(Sn).
(b) KonvergiertP
n1Sn−E(n1Sn) > ε
f¨urε= 101 gegen 0?
Aufgabe 8.2 (Zentraler Grenzwertsatz). (4 Punkte) Ein Fischh¨andler bietet als Aktion an einem bestimmten Tag auf Vorbestellung frische Hummer an.n= 500 Kunden haben je einen Hummer bestellt. Aus Erfahrung weiß der H¨andler, dass jeder Kunde (unabh¨angig von den anderen Kunden) mit nur 90% Wahrscheinlichkeit tats¨achlich kommt, um den Hummer abzuholen. Eventuell ¨ubriggebliebene Hummer muss der H¨andler wegschmeißen, und er verliert somit den Einkaufspreis von 40¤. F¨ur jeden Kunden, der kommt um einen bestellten Hummer abzuholen, aber keinen mehr abbekomt rechnet der H¨andler mit einem Schaden (inklusive entgangenem Gewinn) von 60¤. Sei S die Anzahl der Kunden, die kommen um einen Hummer abzuholen, undGN der Gewinn des H¨andlers, falls erN ∈NHummer gekauft hat.
(a) Zeige:E(GN+1)≥E(GN) ⇔ P(S≤N)≤ 35.
(b) Berechne dasN, f¨ur das der erwartete GewinnE(GN) maximal wird.
Hinweis:nist groß genug, so dass der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. Die L¨osung darf die Funktion Φ(x) :=Rx
−∞
√1 2πe−12t2
dt (und/oder ihre Inverse) enthalten.
Aufgabe 8.3 (Zentraler Grenzwertsatz). (4 Punkte)
(a) SeiSn die einfache Irrfahrt, alsoSn =Pn
k=1Xk mit X1, . . . , Xn unabh¨angig und gleichver- teilt auf{−1,1}. Zeige, dass
nlim→∞P Sn>√
nlog(n)
= 0 und nlim
→∞P |Sn|>log(√nn)
= 1. Hinweis:Verwende den zentralen Grenzwertsatz.
(b) SeiXn Poissonverteilt mit Parametern∈N. Zeige, dass
√2πnP Xn=⌊n+x√
n⌋ n→∞
−→ e−12x2. Hinweis:Verwende die Stirling Formel.
Bitte wenden!
Aufgabe 8.4 (Nikolausaufgabe). (4 Punkte) Eine Mutter kauft in der Adventszeit, erstmalig am 1. Advent (dieses Jahr der 1. Dezember) und letztmalig an Heiligabend (24. Dezember) jeden Tag morgens einen Schokoladennikolaus und verstaut ihn im kindersicheren Versteck. Falls ihre beiden Kinder brav waren (sie stellen immer entweder zu zweit etwas an, oder sind beide brav), bekommen sie abends jeweils einen Schoko- nikolaus zum Essen, allerdings nur wenn auch noch zwei Nikol¨ause da sind (sonst gibt es nur Streit beim Teilen). Die Kinder sind an jedem Tag, unabh¨angig von den anderen Tagen, mit Wahrscheinlichkeit 12 brav.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Nikolausversteck an Heiligabend, nachdem die Kinder im Bett sind, leer ist.
Hinweis:Setze den Nikolausbestand zu einer einfachen Irrfahrt in Beziehung.
(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Nikolausversteck vom 12. Dezember bis (ein- schließlich) Heiligabend abends niemals leer ist.
(c) Nun verl¨angern wir die Adventszeit von 24 auf n∈ N Tage und lassen ngegen unendlich gehen. Bestimme die assymptotische Wahrscheinlichkeit (also den Grenzwert f¨ur n→ ∞), dass das Nikolausversteck im letzten Viertel der Adventszeit (also die letzten n4 Tage, der Einfachheit halber seindurch 4 teilbar) niemals leer wird.
Abgabe bis sp¨atestens Di, 10.12. um 10:15 Uhr in den ¨Ubungskasten im Foyer
Aktuelle Vortr¨age im Probability Seminar:
Am03.12.gibt Volker Kr¨atschmer (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag ¨uber Quasi-Hadamard differentiability of general risk functionals
and its application to statistical inference
Am10.12.gibt Mikhail Urusov (Universit¨at Duisburg-Essen) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit:Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03
