Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 10¨
Radon Nikodym & bedingte Erwartung
Aufgabe 10.1 (Bernoulli Maße sind paarweise singul¨ar). (5 Punkte) (a) Sei Ω ={0,1}Nund Adie Produkt-σ-Algebra auf Ω. F¨ur p∈[0,1] sei fernerµp= Berp
das Bernoulli-Maß auf {0,1} undPp =µ⊗Np das zugeh¨orige Produktmaß auf Ω. Zeigen Sie, dass Pp und Pq f¨ur p6=q singul¨ar sind, also Pp ⊥Pq.
(b) Seiλdas Lebesguemaß auf [0,1]. Finden Sie ein Wahrscheinlichkeitsmaßµauf [0,1] mit µ([a, b]) > 0 ∀0≤a < b≤1, µ({x}) = 0 ∀x∈[0,1], µ⊥λ.
Hinweis: Verwenden Sie die Bin¨arkodierungψ: Ω→[0,1], ψ(ω) =P
n∈Nωn2−n. Aufgabe 10.2 (einfache RN-Ableitungen & bedingte Erwartungen). (4 Punkte)
(a) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei P die Verteilung des Minimums, und Qdie des Maximums der beiden W¨urfe. Bestimmen Sie
dP dQ.
(b) Sei λ das Lebesguemaß auf [0,1], f(x) := x2, und P das Bildmaß von λunter f, also P(A) :=λ f−1(A)
f¨ur A∈ B [0,1]
. Berechnen Sie ddPλ.
(c) Sei X uniform verteilt auf {1, . . . ,6}, Z := 42X −1, und Y :=
(1, X ungerade 0, X gerade . Berechnen Sie die bedingten ErwartungenE(X |Y),E(X |Z) und E(Y |X).
(d) Ein Laplace-W¨urfel mit Werten 1 bis 6 werde 2-mal unabh¨angig geworfen. Sei X das Minimum, und Y das Maximum der beiden W¨urfe. Bestimmen Sie E(Y |X).
Aufgabe 10.3 (Eigenschaften bedingter Erwartungen). (4 Punkte) Seien X undY quadratintegrierbar.
(a) Zeigen Sie: E XE(Y | F)
= E E(X| F)Y f.s.
(b) Wir interpretierenE(X | F) als Sch¨atzung von X bei Kenntnis vonF. Zeigen Sie, dass sich der quadratische Fehler beim schrittweisen Bedingen auf ineinander enthaltene σ-Algebren, F ⊆ G, im folgenden Sinne additiv verh¨alt:
E(X | F)−X
2 2 =
E(X | G)−X
2 2 +
E(X| F)−E(X| G)
2 2.
Wie immer ist dabeikXk22 :=E(X2). Insbesondere ist also der Fehler bei Vorliegen von mehr Information (G) kleiner, als wenn weniger Information (F) verf¨ugbar ist.
Bitte wenden!
Aufgabe 10.4 (Gegenbeispiele). (3 Punkte) (a) Konstruieren Sie Zufallsvariablen X, Y ∈ L1(P) mit E(X | Y) = E(X), die nicht un-
abh¨angig sind.
(b) Finden Sie eine reellwertige Zufallsvariable X und Teil-σ-AlgebrenF,G ⊆ Amit E E(X| F)
G
6= E E(X| G) F
f.s.
Abgabe Mi, 13.06.2018 in der ¨Ubung
