Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 1¨
Diskrete Wahrscheinlichkeiten
Aufgabe 1.1 (Kombinatorik). (4 Punkte)
(a) Wie viele unterscheidbare (nicht notwendig sinnvolle) W¨orter lassen sich aus den Buch- staben des Wortes ,,PERMUTATIONEN” bilden, wenn jeder der 13 Buchstaben genau einmal verwendet werden soll?
(b) Wie viele verschiedene M¨oglichkeiten gibt es, das Wort ,,KOMBINATION” in folgendem Diagramm zu lesen, wenn auf einen Buchstaben nur ein mit Pfeil verbundener folgen darf?
K
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O
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M
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B
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O
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N
Aufgabe 1.2 (Einschluss-Ausschluss-Formel). (4 Punkte) (a) Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, P die zugeh¨orige Wahrscheinlichkeits- verteilung. Sei n ∈ N und A1, . . . , An Ereignisse. Wir setzen I := {1, . . . , n}. Zeigen Sie, dass
P[
i∈I
Ai
= X
J⊆I, J6=∅
(−1)#J−1·P \
j∈J
Aj
Hinweis: Verwenden Sie vollst¨andige Induktion.
(b) Sechs Studenten, mit NamenAbisF, wollen eine Klausur durch Abschreiben bestehen.
In der ersten Reihe ganz links sitzt die StudentinS, die bekanntermaßen alle Aufgaben l¨osen kann; sonst ist die Reihe noch leer. Die Sechs kommen in zuf¨alliger Reihenfolge und setzen sich jeweils auf den linkesten noch freien Platz in der ersten Reihe. Die Studentin S l¨ost wie erwartet alle Aufgaben korrekt, und jeder der sechs Studenten
Bitte wenden!
versucht, von dem oder der direkt links von ihm sitzenden abzuschreiben. Allerdings kann B die Schrift von A nicht lesen, D die von C nicht und F die von E nicht;
ansonsten klappt das Abschreiben problemlos. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zuletzt gekommene Student (der also ganz rechts sitzt) nicht an die korrekte L¨osung der Studentin kommt und daher durchf¨allt?
Hinweis: Die Formel aus (a) darf auch verwendet werden, wenn sie nicht bewiesen wurde.
Aufgabe 1.3 (Unabh¨angigkeit). (4 Punkte)
Sei (Ω, p) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum,AundB Ereignisse. Zeigen oder widerlegen Sie jeweils die folgenden Aussagen.
(a) Gilt A=B, so k¨onnen A und B nicht unabh¨angig sein.
(b) Aus P(B) = 1 folgt im Allgemeinen, dass Aund B unabh¨angig sind.
(c) Sind A und B unabh¨angig, so sind im Allgemeinen auch A und Bc (das Komplement von B) unabh¨angig.
(d) Sind Ac undBc unabh¨angig, so sind im Allgemeinen auch A und B unabh¨angig.
(e) Ist Aunabh¨angig vonB und B unabh¨angig vonC, so ist auch A unabh¨angig vonC.
Aufgabe 1.4 (bedingte Wkt. & mehrstufige Experimente). (4 Punkte) Geben Sie bei den folgenden Teilaufgaben auch jeweils einen diskreten Wahrscheinlichkeits- raum an, auf dem Sie das Problem modellieren.
(a) Von drei Karten ist eine auf beiden Seiten rot, eine auf beiden Seiten schwarz und die dritte hat eine rote und eine schwarze Seite. Eine wird zuf¨allig gezogen und mit einer zuf¨allig gew¨ahlten Seite nach oben auf den Tisch gelegt. Diese Seite ist rot. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die nicht sichtbare Seite rot ist?
(b) In einer von zwei Urnen befinden sich 6 rote und 3 weiße B¨alle, in der anderen 3 rote und 6 weiße. Eine der Urnen wird zuf¨allig gew¨ahlt und aus dieser Urne werden zuf¨allig und unabh¨angig (ohne Zur¨ucklegen) 2 B¨alle entnommen. Sei A das Ereignis, dass der erste Ball rot ist, undBdas Ereignis, dass der zweite rot ist. SindAundB unabh¨angig?
(c) In der Situation von (b) trete das Ereignis A ein. Wie wahrscheinlich ist es, dass die B¨alle aus der Urne mit 6 roten B¨allen gezogen wurden?
(d) In einer Urne befindet sich am Anfang ein schwarzer Ball. Nun wird eine (faire) M¨unze solange geworfen, bis das erste mal Kopf kommt. Jedes mal, wenn Zahl kommt werden weiße B¨alle in die Urne gelegt, und zwar soviele, dass sich die Anzahl der B¨alle in der Urne verdoppelt. Am Schluss wird ein Ball zuf¨allig aus der Urne gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er schwarz ist?
Abgabe bis 11.04.2018 in der Vorlesung Bitte in zweier- oder dreiergruppen abgeben!
