Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2012
Ubungen zur Vorlesung ¨ Zuf¨ allige Fraktale
Ubungsblatt 4 ¨
Hausdorff Dimension
Aufgabe 4.1. (6 Punkte)
(a) Sei X ein metrischer Raum mit Hausdorff dimension dim(X) < 1. Zeige, dass X total unzusammenh¨angend ist.
Hinweis: Wenn es f¨ur x, y ∈X eine offene und abgeschlossene Menge A gibt mit x∈ A und y6∈A, so istX total unzusammenh¨angend.
(b) Seiδ∈]0,∞] fest. Zeige, dass dim(A) = inf
α≥0Hα,δ(A) = 0 . Gilt auch dim(A) = sup
α≥0Hα,δ(A) =∞ ?
Aufgabe 4.2. (6 Punkte)
(a) Sei A ⊆ R die Menge der Zahlen, deren Dezimalentwicklung keine 3 enth¨alt und B = A∩[0,1]. Berechne dim(B) und dim(A).
(b) SeiX =R2undK der Attraktor von (ϕ1, . . . , ϕ4) mitϕk(x) = 14x+bi, sowie
b1= 14
0 2
, b2=14
1 0
b3=14
2 3
, b4= 14
3 1
.
Zeige, dass dim(K)≤1.
(c) Berechne dim(SN), wobei S={1, . . . , N} mitN ∈N.
Aufgabe 4.3. (6 Punkte)
(a) SeiA⊆X,f:X →X bi-Lipschitz, d.h. es gibt Konstantenc, C >0 mit c·d(x, y) ≤ d f(x), f(y)
≤ C·d(x, y) ∀x, y∈X.
Zeige, dass dim f(A)
= dim(A).
(b) Sei X = Rn, (ϕ1, . . . , ϕN) ein affines IFS mit ϕk(x) =Aix+bi, undU eine invertierbare Matrix. Definiere ˆϕk(x) :=U AiU−1x+U bi. SeiK der Attraktor des Ausgans IFS und Kb der Attraktor von ( ˆϕ1, . . . ,ϕˆN). Wie ist der Zusammenhang zwischen dim(K) und dim(K)?b (c) SeiK der Attraktor aus Aufgabe 4.2(b). Zeige, dass dim(K)≥1.
Hinweis:Verwende Teil (a) und die Projektionf: [0,1]2→[0,1],f(x) =x1. Bemerkung:K ist ein Fraktal mit ganzzahliger Dimension, da dimT(K) = 0.
Abgabe bis Mi, 06.06.2012
