Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Sommersemester 2011 Blatt 4

Ubungen zur Vorlesung ¨

Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen

G8. Adjungierten-Methode f ¨ur ein semilineares Randsteuerungsproblem

SeiΩ ⊂ R² ein beschr¨anktes Gebiet mit Lipschitz-Rand. Wir betrachten das Optimalsteue- rungsproblem

y∈H¹(Ω), u∈Lmin ²(∂Ω) f(y, u) := 1

2ky−ydk²_L2(Ω)+α

2kuk²_L2(∂Ω)

u.d.N. −∆y+y= 0 aufΩ,

∂y

∂ν +y|y|=u auf∂Ω, a≤u≤b auf∂Ω mita, b∈L²(∂Ω),y_d∈L²(Ω)undα >0.

Hinweis:Die EinbettungH¹(Ω)⊂L^p(∂Ω)ist kompakt f¨ur1≤p <∞.

a) Geben Sie die schwache Formulierung der Zustandsgleichung an. Die zugeh¨orige Opera- torgleichung seiE(y, u) = 0mitE:Y ×U →Z. Geben Sie geeigneteY, U, Zan.

b) Beweisen Sie, dass das Problem eine optimale L¨osung hat.

c) Leiten Sie die linearisierte Zustandsgleichung in schwacher und starker Form her. Sie k¨onnen verwenden, dassE :Y ×U →Z stetig F-differenzierbar ist.

d) Begr¨unden Sie die stetige F-Differenzierbarkeit des reduzierten Zielfunktionalsfˆ(u) = f(y(u), u).

e) Leiten Sie die adjungierte Gleichung in schwacher und starker Form her.

f) Geben Sie die Adjungierten-basierte Darstellung der Ableitung der reduzierten Zielfunk- tion an.

g) Geben Sie notwendige Optimalit¨atsbedingungen f¨ur eine lokale L¨osung(¯y,u)¯ an.

G9. Zweite Ableitungen

E:Y ×U →Z undf :Y ×U →Rseien zweimal stetig F-differenzierbar,E(y(u), u) = 0 definiere eine eindeutige Abbildungu∈U 7→y(u)∈Y undE_y⁰(y(u), u)sei invertierbar.

Betrachte die Lagrange-FunktionL(y, u, p) = f(y, u) +hp, E(y, u)i_Z^∗_,Z und die reduzierte Zielfunktionfˆ(u) :=f(y(u), u).

Unser Ziel ist die Berechnung vonfˆ⁰⁰(u)sf¨ur gegebeness∈U. a) Zeigen Sie, dass f¨urs₁, s₂∈U gilt

hfˆ⁰⁰(u)s2, s1i_U^∗_,U =hL⁰_y(y(u), u, p), y⁰⁰(u)(s1, s2)i_Y^∗_,Y +hL⁰⁰_yy(y(u), u, p)y⁰(u)s₂, y⁰(u)s₁i_Y^∗_,Y +hL⁰⁰_yu(y(u), u, p)s₂, y⁰(u)s₁i_Y^∗_,Y +hL⁰⁰_uy(y(u), u, p)y⁰(u)s2, s1i_U^∗_,U +hL⁰_uu(y(u), u, p)s₂, s₁i_U^∗_,U. Tip:Differenzieren Siefˆ⁰(u)s1 bez¨uglichuin Richtungs2.

b) Folgere, dass mit der L¨osungp = p(u)der adjungierten GleichungL⁰_y(y(u), u, p) = 0 gilt

fˆ⁰⁰(u) =T(u)^∗L⁰⁰_ww(y(u), u, p(u))T(u) mit

T(u) =

y⁰(u) I_U

∈ L(U, Y ×U), L⁰⁰_ww=

L⁰⁰_yy L⁰⁰_yu L⁰⁰_uy L⁰⁰_uu

, wobeiI_U ∈ L(U, U)die Identit¨at bezeichnet.

c) Zeigen Sie, dassfˆ⁰⁰(u)swie folgt berechnet werden kann:

Seieny(u)undp(u)L¨osung der Zustandsgleichung bzw. der adjungierten Gleichung.

1. Berechne die Sensitivit¨atδ_sy=y⁰(u)sals L¨osung von E_y⁰(y(u), u)δ_sy=−E_u⁰(y(u), u)s.

2. Berechne h₁

h2

=

L⁰⁰_yy(y(u), u, p(u))δsy+L⁰⁰_yu(y(u), u, p(u))s L⁰⁰_uy(y(u), u, p(u))δ_sy+L⁰⁰_uu(y(u), u, p(u))s

.

3. Berechne

h₃ =y⁰(u)^∗h₁ =−E_u⁰(y(u), u)^∗E⁰_y(y(u), u)^−∗h₁.

Dies erfordert die L¨osung der weiteren adjungierten GleichungE_y⁰(y(u), u)^∗h=h₁. 4. Setzefˆ⁰⁰(u)s=h₂+h₃.

H4. Existenz und Ableitungsberechnung

Sei ¨ahnlich wie inH3Ω ⊂R², ein beschr¨anktes Gebiet mit Lipschitz-Rand. Wir betrachten das Optimalsteuerungsproblem

min

y∈H¹(Ω), u∈L²(Ω)

1

2ky−y_dk²_L2(Ω)+1

2ky−y_rk²_L2(∂Ω)+α

2kuk²_L2(Ω)

u.d.N. −∆y+y+y³=u aufΩ,

∂y

∂ν = 0 auf∂Ω, a≤u≤b aufΩ

mit a, b ∈ L²(Ω), a < b, y_d ∈ L²(Ω), yr ∈ L²(∂Ω) und α > 0. Setze Y = H¹(Ω), U =L²(Ω).

Die partielle Differentialgleichung ist in schwacher Form zu verstehen.

a) Leiten Sie die adjungierte Gleichung in schwacher und starker Form her.

b) Geben Sie die Adjungierten-basierte Darstellung der Ableitung der reduzierten Ziel- funktionfˆ(u) :=f(y(u), u)an.

c) Geben Sie eine notwendige Optimalit¨atsbedingung 1. Ordnung an.

d) Geben Sie im Detail an, wie manfˆ⁰⁰(u)sf¨ur eine Richtungs∈U berechnen kann.

Abgabetermin f ¨ur Hausaufgaben:N¨achste ¨Ubung.