c) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems

Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2

Dr. Caroline L¨obhard

Sommersemester 2016, Blatt 2: Ansatzmethode, Variation der Konstanten

V 2.1.Wir betrachten die lineare Differentialgleichung

y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) =−12t²+ 10t. (?)

a) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom der Differentialgleichung und dessen Nullstellen.

b) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der zugeh¨origen homogenen Differentialgleichung.

c) Berechnen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems (?) mit den Anfangswerten y(0) = 2

3, y⁰(0) =−3.

V 2.2. Entscheiden Sie bei den folgenden Differentialgleichungen jeweils, ob man mit der Ansatzme- thode aus Satz 1.11 eine partikul¨are L¨osung bestimmen kann. Geben Sie, falls m¨oglich, den Ansatz an.

a) y⁰⁰(t) + 4y(t) = (t³−8)e^2t,

b) y⁰⁰(t)+4y(t) = (t+1) cos(2t)−(t⁴+2) sin(2t), c) y⁽⁶⁾(t)−3y⁽⁴⁾(t) + 3y⁰⁰(t)−y(t) =t⁷e^t,

d) y⁽⁶⁾(t)−3y⁽⁴⁾(t) + 3y⁰⁰(t)−y(t) = 0, e) y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) + 2y(t) =e^tcos(t),

f) y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) + 2y(t) =e^−tcos(t) +e^tsin(t).

V 2.3. Bestimmen Sie die allgemeinen L¨osungen der folgenden Differentialgleichungen mit der An- satzmethode. Berechnen Sie, falls Anfangsbedingungen angegeben sind, die L¨osungen der zugeh¨origen Anfangswertprobleme,

a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = (1−4t)e^−t, y(0) = 0, y⁰(0) = 0, b) y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) + 2y(t) = 2 + 2t−sin(t)−2 cos(t).

V 2.4. L¨osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15).

Berechnen Sie in a) auch die L¨osung des zugeh¨origen Anfangswertproblems, a) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) =e^−4t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1,

b) y⁰⁰(t)−4y(t) = 1 cosh(2t),

S 2.5.L¨osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit der Ansatzmethode, a) y⁰⁰(t)−4y(t) = 8 cos(2t),

b) y⁰⁰(t)−4y⁰(t) + 13y(t) = 13t²−8t+ 15, y(0) = 1, y⁰(0) = 0, c) y⁰⁰(t)−6y⁰(t) + 9y(t) = 2e^3t, y(0) = 1, y⁰(0) = 3,

S 2.6.L¨osen Sie die folgenden Differentialgleichungen mittels Variation der Konstanten (Satz 1.15), a) y⁰⁰(t)−6y⁰(t) + 8y(t) = e^3t

1 +e^t, b) y⁰⁰(t)−3y⁰(t) + 2y(t) = 2e^tcos

t

2

.

Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 2.5.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 2.5.2016