PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen Ubungsblatt 11¨
Abzugeben bis Freitag, den 13. Januar, vor der Vorlesung
Aufgabe 1. Bestimmen Sie die L¨osung des Anfangswertproblems
y0(t) =
11 −18 9 6 −10 6
0 0 2
y(t) mit y(0) =
0
−1
−1
.
(Hinweis:Verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 3 von Blatt 10 und Folgerung 9.15, und berechnen Sie die in Folgerung 9.15 auftretenden Koeffizienten α1, α2, α3 mittels y(0). Die Ergebnisse dieser Aufgabe 3 werden am 22.12. nachmittags ver¨offentlicht.) Aufgabe 2. Wir betrachten das DGL-System des mathematischen Pendels
y0(t) =Ay(t) mit A=
0 1
−g 0
, (1)
siehe auch Beispiel 9.5 der Vorlesung.
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte vonAund bestimmen Sie jeweils einen zugeh¨origen (ggf. komplexen) Eigenvektor.
(b) Zeigen Sie, dassA diagonalisierbar ist.
(c) Bestimmen Sie die entsprechenden reell-wertigen L¨osungen von (1) nach Satz 9.11.
(d) Vergleichen Sie diese mit der im Beispiel 9.5 gefundenen L¨osung.
Aufgabe 3. Zeigen Sie:
(a) Istλeine Nullstelle des Polynoms
p(X) =Xn+1+anXn+an−1Xn−1+· · ·+a1X+a0, so ist der Vektor
v= 1 λ · · · λn−1 λn>
ein Eigenvektor der Begleitmatrix
A=
0 1 0 · · · 0
... . .. ... . .. ...
... . .. . .. 0
0 · · · 0 1
−a0 −a1 · · · −an−1 −an
.
(b*) Hat das obige Polynomnpaarweise verschiedene Nullstellen, so ist die obige Ma- trix A diagonalisierbar. (Bemerkung: Die L¨osung erfordert nur Standard-Wissen der linearen Algebra, das aber evt. in der von Ihnen geh¨orten Linearen Algebra I nicht behandelt wurde; deswegen z¨ahlt dieser Aufgabenteil als Zusatz.)
Aufgabe 4. SeiA∈Mn(R), seieny(1), . . . , y(k):R→Rn L¨osungen der DGL y0(t) =Ay(t).
Seieny(1)(t0), . . . , y(k)(t0)∈Rnlinear unabh¨angig f¨ur eint0 ∈R. Zeigen Sie, dass dann die Vektoreny(1)(t), . . . , y(k)(t) f¨ur jedest∈Rlinear unabh¨angig sind.
(Hinweis: Verwenden Sie Folgerung 9.9.)
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