1. (10P) Bestimmen Sie die L¨ osung der Anfangswertaufgabe y 0 = − y

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 03.12.2019 Blatt 9

Ubungen zur Analysis II ¨

1. (10P) Bestimmen Sie die L¨ osung der Anfangswertaufgabe y ⁰ = − y

x + e ^2x , y(1) = 0.

Was ist der maximale Definitionsbereich der L¨ osung?

2. Betrachten Sie die Differentialgleichung

y ⁰ = e ^y cos(x), (x, y) ∈ U := R ² .

(a) (1P) Erf¨ ullt die Differentialgleichung die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindel¨ of?

(b) (4P) Bestimmen Sie f¨ ur jedes y ₀ ∈ R alle L¨ osungen der Anfangswertaufgabe y ⁰ = e ^y cos(x), y(0) = y ₀ .

(c) (3P) Geben Sie s¨ amtliche Werte y 0 an, f¨ ur welche die Anfangswertaufgabe eine auf R definierte L¨ osung besitzt.

(d) (2P) Geben Sie das gr¨ oßte Intervall an, auf dem die Anfangsbedingung y(0) = ln 2

eine L¨ osung besitzt.

3. (10P) Auf U = ]0, ∞[ × R sei die Anfangswertaufgabe y ⁰ = y

x − exp y x

, y(e) = 0

gegeben. Bestimmen Sie die L¨ osung, indem Sie den Ansatz u(x) = y(x)

x machen und die Differentialgleichung f¨ ur u l¨ osen.

Hinweis: Eine Differentialgleichung, bei der y ⁰ durch eine Funktion von ^y _x ausge- dr¨ uckt wird, heißt homogene Differentialgleichung.

4. F¨ ur x ∈ ]0, ∞[ sei

A(x) =

2 _x ¹

0 _x ³

! .

(a) (8P) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem f¨ ur das lineare Differentialglei- chungssystem y ⁰ = A(x)y.

Hinweis: Man muss die spezielle Struktur des Differentialgleichungssystems ausnutzen.

(b) (2P) Bestimmen Sie ferner eine L¨ osung f¨ ur die Anfangsbedingung y(1) =

−1 0

.

Abgabe: Di, 10.12.2019, 12:20 Besprechung: 18.-19. Dezember