sin(xy) xy2 , x6= 0, y 6= 0, 1 y, x= 0, y 6= 0, 1 x, x6= 0, y = 0, 0, x=y= 0

Unversität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Stefan Volkwein

Dr. Matthias Kotschote

Analysis 2 Serie 4 1. Aufgabe (2 Punkte):

Zeigen Sie: Sei kxk eine Norm auf R. Dann existiert eine Konstante c > 0, so dass kxk=c|x|,∀x∈R.

2. Aufgabe (2 Punkte):

An welchen Punkten ist die folgende Funktion f :R² →R stetig.

f(x, y) =















sin(xy)

xy² , x6= 0, y 6= 0,

1

y, x= 0, y 6= 0,

1

x, x6= 0, y = 0, 0, x=y= 0.

2. Aufgabe (6 Punkte):

Zeigen Sie oder widerlegen Sie:

1. Die Funktion f(x, y) = _x2^xy+y² ist gleichmäÿig stetig auf M := [

k∈N

A_k, A_k :=B(z_k, R_k), z_k= (2^−(2k−1),2^−(2k−1)), R_k= 2^−(2k−1). 2. Die Funktion φ(x) = ^kxk_kxk^∞

2 x:Rⁿ→Rⁿ ist Lipschitz-stetig.

3. Die Funktion ψ(x, y) = _e^cos(y)x+(cos(x)+sin(y))^{2−ey+sin(x)22} ist gleichmäÿig stetig auf M. 3. Aufgabe (2 Punkte):

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktion f :D→R². (a) f(x, y) = (y²ln(xy), x+ cos(x/y))^T, D= (0,∞)×(0,∞), (b) f(x, y) = (x−2x²+ 3xy, y−y²−2xy)^T, D=R².

4. Aufgabe (4 Punkte):

Gegeben sei die Funktion

f(x, y) :=

(_xy(x2−y²)

x²+y² , (x, y)^T ∈R²\{0}

0, (x, y)^T = (0,0)^T.

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂_xf(x, y) und ∂_yf(x, y) für alle (x, y)^T ∈ R². Berechnen Sie dann ∂_x∂_yf(0,0)und ∂_y∂_xf(0,0).

Alle Aufgaben sind schriftlich zu bearbeiten und ausreichend zu begründen. Abgabe der Lösungen am 25.05.09., 12.00 Uhr.