∆u = 0 in (0, a) × (0, b) u x = − a auf x = 0 u x = 0 auf x = a u y = b auf y = 0 u y = 0 auf y = b

(1)

PDDr. P.Ne

K.Stavrakidis

SS2007

21.06.2007

6. Übungsblatt zur

Vorlesung Elementare Partielle

Dierentialgleihungen

Separationsansatzbedeutet,dassmandieFunktion

u

ⁱⁿ^der^F^orm

u(x, y) = X(x) · Y (y)

bzw.

u(r, ϕ) = R(r) · Φ(ϕ)

^darstellt.

Übung

Aufgabe 1 (RWP)

LösenSie für

a, b > 0

^folgendes^R^WP

∆u = 0 in (0, a) × (0, b) u _x = − a auf x = 0 u _x = 0 auf x = a u _y = b auf y = 0 u _y = 0 auf y = b

Hinweis:

u

^ist^einquadratishesPolynom von

x

^und

y

^.

Lösung: DakeineRandbedingungfür

u

^sondern^nur^für^dieAbleitungenvorgegeben ist,kann

u

^nur ^bis^auf ^Konstanten ^eindeutig^sein.

Ansatz:

u(x, y) = c ₁ x ² − c ₂ xy + c ₃ y ² + c ₄ x + c ₅ y + c ₆

Einsetzen:

u _xx + u _yy = 2c 1 + 2c 3 = 0 ⇒ c ₁ = − c ₃

u _x (0, y) = c ₂ y + c ₄ = − a ⇒ c ₂ = 0, c ₄ = − a u _x (a, y) = 2c ₁ a + c ₂ y + c ₄ = 0 ⇒ c ₁ = 1

2 u _y (x, 0) = c ₂ x + c ₅ = b ⇒ c ₅ = b

u _y (x, b) = c ₂ x + 2c ₃ b + c ₅ = 0 ⇒ c ₃ = − 1 2

c ₆

^ist^beliebig ^wählbar.

(2)

Aufgabe 2 (SeparationsansatzI)

LösenSie folgendeDierentialgleihung für

u : (0, 1) ² → R

∆u = 0 u(x, 1) = x ² − x u(0, y) = 0 u(1, y) = 0 u _y (x, 0) = 0

Hinweis: Die Sinus-Fourierreihe von einer Funktion

f : (0, 1) → R

^ist ^gegeben ^durh

f (x) = P _∞

n=1 α _n sin(nπx)

^mit

α _n = 2 R ₁

0 f(x) sin(nπx)

^.

Ferner gilt

R ₁

0 (x ² − x) sin(nπx) = _(nπ) ² 3 (( − 1) ⁿ − 1)

^.

Lösung: Wir wenden das Separationsverfahren niht auf die eigentlihe PDE an,

sondernaufdiePDEohnedieersteRandbedingung

u(x, 1) = x ² − x

^.^Dadurh^erhalten

wirunendlih vieleLösungen, diewir aufsummieren.Diese Reihevergleihenwir mit

derSinus-Fourierreihe underhalten dieLösung.

Durh den Seperationsansatz

u(x, y) = X(x)Y (y)

^erhalten^wir^zwei^gewöhnlihe ^Dif-

ferentialgleihungen

X ^′′ = λX, Y ^′′ = − λY

mit den allgemeinenLösungen:

X(x) = Ae ^√ ^λ + Be ⁻ ^√ ^λ Y (y) = Ce ^√ ^−λ + De ⁻ ^√ ^−λ

Die Randbedingungen

u(0, y) = u(1, y) = 0

^ergeben

X(0)Y (y) = X(1)Y (y) = 0 ∀ y,

sodassfür jede nihttriviale Lösung

X(0) = X(1) = 0

^gelten ^muss. ^Deshalb^gilt:

A + B = 0 , Ae

√ λ + Be ⁻

√ λ = 0

⇒ A(e ^√ ^λ − e ⁻

√ λ ) = 0

Für

A = 0

^ist

B = 0

^,^und ^wir^erhalten^nur ^die^triviale ^Lösung.

Falls

A 6 = 0

^,^m^uss

e ² ^√ ^λ = 1

^sein,^d.^h.

2 √

λ = 2πin

^bzw.

λ = − π ² n ² , n = 1, 2, . . .

AusderRandbedingung

u _y (x, 0) = 0

^und ^den ^gefundenen

λ

^ergibt ^sih:

X(x)Y ^′ (y) = 0, ⇒ Y ^′ (0) = 0

für niht trivialeLösungen.

⇒ Y ^′ (0) = C √

− λ − D √

− λ = 0, ⇒ C = D

(3)

Damithaben wir

Y (y) = C(e ^πny + e ⁻ ^πny ) = 2C cosh(nπy),

und dieallgemeineLösung derPDE ausdemAnsatz:

u(x, y) = X ∞ n=1

A _n sin(nπx) cosh(nπy).

Die Koezienten

A _n

^sind ^so ^zu ^bestimmen, ^dass

u(x, 1) = x ² − x

^gilt. ^Entwikeln

f (x) = x ² − x

ⁱⁿ^eine^Sinus-Fourierreihe:

f (x) = X ∞ n=1

α _n sin(nπy)

^mit

α _n = 2 Z ₁

0

f (x) sin(nπx)

Durh rehnen erhält man

α _n = _(nπ) ⁴ 3 (( − 1) ⁿ − 1)

^.^Damit ^ist

u(x, 1) =

X ∞ n=1

A _n sin(nπx) cosh(nπ) = X ∞ n=1

4 (nπ) ³ (( − 1) ⁿ − 1) sin(nπx)

Durh Koezientenvergleih folgt:

A _n = 4(( − 1) ⁿ − 1) (nπ) ³ cosh(nπ) .

Aufgabe 3 (SeparationsansatzII)

ImInnerendesEinheitskreises

D ⊂ R ²

^sei

u

^harmonish^und ^auf^dem^Rand

∂D

^gelte

u(x, y) = 1 + 3y

^.^Bestimmen ^Sie ^die^Lösung

u

^durh ^Übergang ^zu Polarkoordinaten und Separationsansatz.

Hinweis: Die Darstellung der Laplae-Gleihung in Polarkoordinaten wurde in der

letztenÜbung behandelt.

Lösung:

InPolarkoordinaten

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

^geht^die ^Aufgabe^über ⁱⁿ

u _rr + 1

r u _r + 1

r ² u _ϕϕ = 0

ⁱⁿ

D u(1, ϕ) = 1 + 3 sin ϕ

^auf

∂D

Seperationsansatz:

u = u(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ) R ^′′ (r)Φ(ϕ) + 1

r R ^′ (r)Φ(ϕ) + 1

r ² R(r)Φ ^′′ (ϕ) = 0

Division durh

RΦ

^,^undMultiplikation mit

r ²

^ergibt:

r ² R ^′′

R + r R ^′ R + Φ ^′′

Φ = 0

(4)

Dadurh erhalten wirzweigewöhnlihe Dierentialgleihungen:

Φ ^′′ + λΦ = 0

⁽¹⁾

r ² R ^′′ + rR ^′ − λR = 0

⁽²⁾

Die LösungderGleihung (1)lautet:

Φ(ϕ) = A cos √

λϕ + B sin √

λϕ

^falls

λ > 0 Φ(ϕ) = A + Bϕ

^falls

λ = 0

Φ(ϕ) = Ae ^√ ⁻ ^λϕ + Be ⁻ ^√ ⁻ ^λϕ

^falls

λ = 0

Ausden Randbedingungenfolgt, dass

Φ

^eine

2π

-periodishe Funktionist.

Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ)

Damit entfallen die Lösungen für

λ < 0

^, ^der ^F^all

λ = 0

^liefert ^die ^konstante ^Lösung

Φ(ϕ) = A

^,^und ^im^Fall

λ > 0

^muss

λ = n ² , n = 1, 2...

^gelten.

Gleihung (2)ist eine Eulershe Diferentialgleihung.Mit

λ = n ²

^erhalten^wir:

r ² R ^′′ + rR ^′ − n ² R = 0

Die Lösungist

R(r) = C _n r ⁿ + D _n r ⁻ⁿ

^für

n = 1, 2, ..., R(r) = C ₀ + D ₀ ln r

^für

n = 0.

DieseFunktionensind harmonishin

D

^,^mit^Ausname^im^Punkt

0

^.^Da^die^Lösungⁱⁿ

C ² (D)

^liegen^soll, ^müssen ^alle

D n

^gleih ^Null ^sein. ^Durh ^Summation ^nden ^wir^die

allgemeine Lösung:

u(r, ϕ) = A ₀ + X ∞ n=1

(A n cos(nϕ) + B _n sin(nϕ)

Koezientenvergleih liefert

A ₀ = 1

^und

B ₁ = 3

^.^Die ^Lösung^lautet ^also:

∆u = 0 in (0, a) × (0, b) u x = − a auf x = 0 u x = 0 auf x = a u y = b auf y = 0 u y = 0 auf y = b

u

u(x, y) = X(x) · Y (y)

u(r, ϕ) = R(r) · Φ(ϕ)

a, b > 0

∆u = 0 in (0, a) × (0, b) u x = − a auf x = 0 u x = 0 auf x = a u y = b auf y = 0 u y = 0 auf y = b

u

x

y

u

u

u(x, y) = c 1 x 2 − c 2 xy + c 3 y 2 + c 4 x + c 5 y + c 6

u xx + u yy = 2c 1 + 2c 3 = 0 ⇒ c 1 = − c 3

u x (0, y) = c 2 y + c 4 = − a ⇒ c 2 = 0, c 4 = − a u x (a, y) = 2c 1 a + c 2 y + c 4 = 0 ⇒ c 1 = 1

2 u y (x, 0) = c 2 x + c 5 = b ⇒ c 5 = b

u y (x, b) = c 2 x + 2c 3 b + c 5 = 0 ⇒ c 3 = − 1 2

c 6

u : (0, 1) 2 → R

∆u = 0 u(x, 1) = x 2 − x u(0, y) = 0 u(1, y) = 0 u y (x, 0) = 0

f : (0, 1) → R

f (x) = P ∞

n=1 α n sin(nπx)

α n = 2 R 1

0 f(x) sin(nπx)

R 1

0 (x 2 − x) sin(nπx) = (nπ) 2 3 (( − 1) n − 1)

u(x, 1) = x 2 − x

u(x, y) = X(x)Y (y)

X ′′ = λX, Y ′′ = − λY

X(x) = Ae √ λ + Be − √ λ Y (y) = Ce √ −λ + De − √ −λ

u(0, y) = u(1, y) = 0

X(0)Y (y) = X(1)Y (y) = 0 ∀ y,

X(0) = X(1) = 0

A + B = 0 , Ae

√ λ + Be −

√ λ = 0

⇒ A(e √ λ − e −

√ λ ) = 0

A = 0

B = 0

A 6 = 0

e 2 √ λ = 1

2 √

λ = 2πin

λ = − π 2 n 2 , n = 1, 2, . . .

u y (x, 0) = 0

λ

X(x)Y ′ (y) = 0, ⇒ Y ′ (0) = 0

⇒ Y ′ (0) = C √

− λ − D √

− λ = 0, ⇒ C = D

Y (y) = C(e πny + e − πny ) = 2C cosh(nπy),

u(x, y) = X ∞ n=1

A n sin(nπx) cosh(nπy).

A n

u(x, 1) = x 2 − x

f (x) = x 2 − x

f (x) = X ∞ n=1

α n sin(nπy)

α n = 2 Z 1

0

f (x) sin(nπx)

α n = (nπ) 4 3 (( − 1) n − 1)

u(x, 1) =

X ∞ n=1

A n sin(nπx) cosh(nπ) = X ∞ n=1

4

(nπ) 3 (( − 1) n − 1) sin(nπx)

A n = 4(( − 1) n − 1) (nπ) 3 cosh(nπ) .

D ⊂ R 2

u

∂D

u(x, y) = 1 + 3y

u

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

u rr + 1

r u r + 1

r 2 u ϕϕ = 0

D u(1, ϕ) = 1 + 3 sin ϕ

∂D

∆u = 0 in (0, a) × (0, b) u _x = − a auf x = 0 u _x = 0 auf x = a u _y = b auf y = 0 u _y = 0 auf y = b

u(x, y) = c ₁ x ² − c ₂ xy + c ₃ y ² + c ₄ x + c ₅ y + c ₆

u _xx + u _yy = 2c 1 + 2c 3 = 0 ⇒ c ₁ = − c ₃

u _x (0, y) = c ₂ y + c ₄ = − a ⇒ c ₂ = 0, c ₄ = − a u _x (a, y) = 2c ₁ a + c ₂ y + c ₄ = 0 ⇒ c ₁ = 1

2 u _y (x, 0) = c ₂ x + c ₅ = b ⇒ c ₅ = b

u _y (x, b) = c ₂ x + 2c ₃ b + c ₅ = 0 ⇒ c ₃ = − 1 2

c ₆

u : (0, 1) ² → R

∆u = 0 u(x, 1) = x ² − x u(0, y) = 0 u(1, y) = 0 u _y (x, 0) = 0

f (x) = P _∞

n=1 α _n sin(nπx)

α _n = 2 R ₁

R ₁

0 (x ² − x) sin(nπx) = _(nπ) ² 3 (( − 1) ⁿ − 1)

u(x, 1) = x ² − x

X ^′′ = λX, Y ^′′ = − λY

X(x) = Ae ^√ ^λ + Be ⁻ ^√ ^λ Y (y) = Ce ^√ ^−λ + De ⁻ ^√ ^−λ

√ λ + Be ⁻

⇒ A(e ^√ ^λ − e ⁻

e ² ^√ ^λ = 1

λ = − π ² n ² , n = 1, 2, . . .

u _y (x, 0) = 0

X(x)Y ^′ (y) = 0, ⇒ Y ^′ (0) = 0

⇒ Y ^′ (0) = C √

Y (y) = C(e ^πny + e ⁻ ^πny ) = 2C cosh(nπy),

A _n sin(nπx) cosh(nπy).

A _n

u(x, 1) = x ² − x

f (x) = x ² − x

α _n sin(nπy)

α _n = 2 Z ₁

α _n = _(nπ) ⁴ 3 (( − 1) ⁿ − 1)

A _n sin(nπx) cosh(nπ) = X ∞ n=1

(nπ) ³ (( − 1) ⁿ − 1) sin(nπx)

A _n = 4(( − 1) ⁿ − 1) (nπ) ³ cosh(nπ) .

D ⊂ R ²

u _rr + 1

r u _r + 1

r ² u _ϕϕ = 0

u = u(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ) R ^′′ (r)Φ(ϕ) + 1

r R ^′ (r)Φ(ϕ) + 1

r ² R(r)Φ ^′′ (ϕ) = 0

r ²

r ² R ^′′

R + r R ^′ R + Φ ^′′

Φ ^′′ + λΦ = 0

r ² R ^′′ + rR ^′ − λR = 0

Φ(ϕ) = Ae ^√ ⁻ ^λϕ + Be ⁻ ^√ ⁻ ^λϕ

λ = n ² , n = 1, 2...

λ = n ²

r ² R ^′′ + rR ^′ − n ² R = 0

R(r) = C _n r ⁿ + D _n r ⁻ⁿ

n = 1, 2, ..., R(r) = C ₀ + D ₀ ln r

C ² (D)

u(r, ϕ) = A ₀ + X ∞ n=1

(A n cos(nϕ) + B _n sin(nϕ)

A ₀ = 1

B ₁ = 3