j =0 j p ( x )= a x j X 2 1 1 2 2 ( x ,y )=(2 , 3) ( x ,y )=(3 , 8) 0 0 p ( x ,y )=(0 , 2) j y j x j

Prof. D. Cohen/ Dr. T. Mitkova Universität Basel

Serie 1

zur 9.KW (23.02.- 01.03.2009)

Aufgabe 1:*

BestimmenSiedasLagrangesheInterpolationspolynomzudenfolgendenStützpunk-

ten:

j

^{0 1 2 3}

x _j

^{0 0.5 1 1.5}

y _j

^{1 2 3 4}

Hinweis: Die Lösung ist ein Polynom vom Grad eins.

Aufgabe 2:(P)

Zum Plotten der Lagrange-Polynome zu den Stützstellen X(i) shreiben Sie eine

MATLAB-Routine funtion [L, x_plot℄ = LagrangePlot(X). Testen Sie Ihre Im-

plementation mitden Daten aus Aufgabe1.

Hinweis: Die Struktur der MATLAB-Routine könnte z.B. so aussehen:

funtion [L, x_plot℄ = LagrangePlot(X)

n = length(X);

x_plot = linspae(X(1), X(end), 100*n);

L = ones(n, length(x_plot));

for i = 1 : n % Das i-te Lagrange-Polynom

for j = 1 :n

if (i ~= j)

L(i, :) = ... ;

end

end

figure(i)

plot(x_plot, L(i, :))

xlabel('x')

title(['Das ' num2str(i) '. Lagrange-Polynom'℄)

end

Aufgabe 3:*

Berehnen Sie das Interpolationspolynom

p

^{durh die drei Punkte}

(x 0 , y ₀ ) = (0, 2)

^,

(x 1 , y ₁ ) = (2, 3)

^und

(x 2 , y ₂ ) = (3, 8)

^:

(a)

p(x) = X 2

j=0

a _j x ^j

^(monomialeDarstellung);

(b)

p(x) = X 2

j=0

b _j l _j (x)

^mit

l _j (x) = Y

k6=j

x − x _k

x _j − x _k

(Lagrange-Darstellung);

()

p(x) = X 2

j=0

c _j ω _j (x)

^mit

ω _j (x) = Y

i<j

(x − x _i )

(Newton-Darstellung).

Verizieren Sie, dass das Polynom inallen Fällendasselbeist.

Aufgabe 4:(P)*

(a) Shreiben Sieeine MATLAB-Routine

funtion interpol_wert = Newton_Interpol(X, Y, x), die mit der New-

tonshen Interpolationsformel zu den Stützpunkten (X(i), Y(i)) den inter-

poliertenWert interpol_wert aneiner beliebigen Stellex berehnet.

Hinweis: Die Struktur der MATLAB-Routine könnte z.B. so aussehen:

funtion interpol_wert = Newton_Interpol(X, Y, x)

n = length(X)-1; % Grad des Interpolationspolynoms

div_Diff = Y; % div_Diff: dividierte Differenzen

for k = 2 : n+1

for i = n+1 : -1 : k

div_Diff(i) = ... ;

end

end

% Auswertung des Interpolationspolynoms

interpol_wert = div_Diff(n+1);

for k = n : -1 : 1

interpol_wert = ... ;

end

(b) Mit Hilfe der Funktion Newton_Interpol berehnen Sie den interpolierten

Wert

p ( x )

^bei

x = 57 . 5

^{zu der folgenden}Wertetabellefür dieFunktion

log ₁₀

^:

j

^{0 1 2 3}

X _j

^{56 57 58 59}

Y _j

^{1.748188 1.755875 1.763428 1.770852}

VergleihenSiedeninterpoliertenmitdemexaktenWertbei

x = 57.5

^.Zeihnen

Sie

p(x)

^und

log ₁₀ (x)

^{, zuerstfür}

x ∈ [56, 59]

^{unddann für}

x ∈ [1, 150]

^.Zeihnen

Sie auhdie Fehlerfunktion

r(x) = log ₁₀ (x) − p(x)

^für

x ∈ [56, 59]

^.

Aufgabe 5:(A+B)

Seien

L _i

^,

i = 0 , 1 , . . . , n

^dieLagrangeshen Polynomezu denpaarweise vershiedenen Stützstellen

x ₀ , x ₁ , . . . , x _n

⁽

x _i 6= x _j

^,

i 6= j

^{). Zeigen Sie, dass die} Lagrange-Polynome eine Basis des reellen Vektorraums

P n = {p

^Polynom

|

^Grad

p ≤ n}

^bilden.

Durh Induktion zeigenSie, dass

δ ⁿ y[x 0 , . . . , x _n ] = X n

j=0

y _j Y

i6=j

1 x _j − x _i .

DanahzeigenSie,dass diedividiertenDierenzen

δ ⁿ y[x 0 , . . . , x _n ]

^{symmetrishsind,}

d.h.

δ ⁿ y [ x _σ(0) , x _σ(1) , . . . , x _σ(n) ] = δ ⁿ y [ x ₀ , x ₁ , . . . , x _n ]

für jedebeliebige Permutation

σ

^von

{0, 1, . . . , n}

^.

Abgabe: Dienstag, 24.Februar 2009, bis17Uhr imFah

AllgemeineInformationenzurVorlesungundÜbungsblätterbendensihaufderWebseite

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