H15: Es sei j :`1 →`0∞ definiert durch j(y)(x

J. M¨uller / P. Beise Wintersemester 2009/2010 25.11.2009

5. ¨Ubung Funktionalanalysis und partielle Differenzialgleichungen Abgabe: Bis Dienstag, 01.12.2009 um 8:30 Uhr im Kasten 12

H13: Es sei

a= lin span{e^(k) :k ∈N} die Menge der abbrechenden Folgen in K^N.

Zeigen Sie, dass a dichter Unterraum von `_p f¨ur 1≤p <∞ und von c₀ ist.

H14: Zeigen Sie: Die Abbildungj :`∞→`⁰₁, definiert durch

j(y)(x) :=

∞

X

j=1

x_jy_j x= (x_j)∈`<sub>1</sub>, y = (y<sub>j</sub>)∈`_∞ ,

ist isometrisch, antilinear und surjektiv.

H15: Es sei j :`<sub>1</sub> →`⁰_∞ definiert durch

j(y)(x) :=

∞

X

j=1

x_jy_j (x∈`∞, y ∈`₁).

Uberlegen Sie sich:¨

a) Ist j(y)|c₀ = 0, so ist y= 0 (und damit j(y) = 0), b) j ist nicht surjektiv.