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Es sei f : R → R eine Funktion definiert durch

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Academic year: 2021

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Aufgabe 26

Es sei f : R → R eine Funktion definiert durch

x 7→

Z

sin(x)

4

exp(t

2

)dt.

Begr¨ unden Sie die Existenz der Ableitung von f und berechnen Sie diese.

L¨ osung. Da exp(t

2

) die Verkettung stetiger Funktionen ist, ist exp(t

2

) stetig. Nach Teil 1 des Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) ist

f (x) = Z

sin(x)

4

exp(t

2

)dt

daher differenzierbar und eine Stammfunktion zu exp(sin

2

(x)). Es sei G(x) eine Stammfunktion von g(x) := exp(x

2

). Nach Teil 2 des HDI gilt somit

Z

sin(x)

4

exp(t

2

)dt = G(sin(x)) − G(4).

Differentiation mit der Kettenregel liefert dann die gesuchte Ableitung d

dx [G(sin(x)) − G(4)] = g(sin(x)) · sin

0

(x) = exp(sin

2

(x)) · cos(x).

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