1) Es sei F eine Verteilungsfunktion auf R

Prof. Dr. Uwe K¨uchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler

Institut f¨ur Mathematik

Stochastik I 4. Zusatz¨ ubung

1) Es sei F eine Verteilungsfunktion auf R

. Wir definieren F

(y) := inf {z ∈ R

: F (z) ≥ y}; y ∈ (0, 1).

Man beweise, dass gilt

a) F (z) ≥ y ⇐⇒ z ≥ F

(y), y, z ∈ R

, b) F (F

(y)) ≥ x, y ∈ (0, 1),

F

(F (x)) ≤ x, falls 0 < F (x) < 1, x ∈ R

c) wenn F stetig ist, so folgt F (F

(y)) = y, y ∈ (0, 1),

d) Ist X eine Zufallsgr¨oße mit der stetigen Verteilungsfunktion F , so ist Y = F (X) gleichm¨aßig auf [0, 1] verteilt.

2) Es sei F (x

, x

) eine Verteilungsfunktion auf R

mit einer stetigen Dichte f (x

, x

) und stetigen Randdichten f

(x

), f

(x

), (x

, x

) ∈ R

. Weiter- hin m¨ogen F

und F

die Randverteilungsfunktionen F bezeichnen.

Man beweise:

Es gilt

F (x

, x

) = F

(x

)F

(x

), (x

, x

) ∈ R

, genau dann, wenn

f (x

, x

) = f

(x

)f

(x

), (x

, x

) ∈ R

richtig ist.