1. Es sei X ein n-dimensionaler zuf¨ alliger Vektor mit der Verteilungsfunktion F . Man zeige:

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Institut f¨ ur Mathematik

Statistik stochastischer Prozesse 1. ¨ Ubung, 23. 04. 2008

1. Es sei X ein n-dimensionaler zuf¨ alliger Vektor mit der Verteilungsfunktion F . Man zeige:

a) Die Menge I _F := {u ∈ R _n |

Z

R

exp(< u, x >)F (dx) < ∞}

ist eine konvexe Menge mit 0 ∈ I _F .

b) Ist 0 ∈ I ^o F , so ist die Kumulantenfunktion ψ F von F , definiert durch ψ F (u) := ln

Z

R

exp(< u, x >)F (dx), u ∈ I F , auf I ^o F unendlich oft differenzierbar, und es gilt

grad ψ _F (0) = EX und _∂u ^∂

^ψ

i

∂u

(u)

u=0

!

= Kov(X).

ψ _F (u) ist steng konvex, außer f¨ ur den Fall, dass es ein a ∈ R _n gibt mit

< a, X >= 0 fast sicher.

c) Durch F _u (dx) :=

Z

(−∞,x]

exp(< u, x > −ψ _F (u))F (dx), u ∈ I _F , wobei

(−∞, x] := (−∞, x 1 ] × . . . × (−∞, x n ]

gesetzt wird, ist eine Familie (F _u : u ∈ I _F ) von Verteilungsfunktionen auf R _n definiert, die sogenannte von F erzeugte (kanonische) Exponentialfamilie.

d) Ist (F _u : u ∈ I _F ) die von F erzeugte Exponentialfamilie, und gilt u ⁰ ∈ I _F , so ist (F _v : v ∈ I _F

) mit (F _u : u ∈ I _F ) identisch. Es gilt

ψ _F

(v) = ψ _F (v + u ⁰ ) − ψ _F (u ⁰ ), v ∈ I _F

= I _F − {u ⁰ } e) Man berechne E _u X und Kov _u X

1

f) Ist X eine reellwertige Zufallsgr¨ oße mit der Verteilungsfunktion F und X ⁽ⁿ⁾ :=

(X ₁ , X ₂ , . . . , X _n ) eine mathematische Stichprobe aus einer nach F verteilten Grundgesamtheit (also F _X

= F ⊗ F ⊗ . . . ⊗ F

| {z }

n− mal

), so gilt

F _X

,u (dx) =

n

Y

k=1

F _u

(dx _k ) , u = (u ₁ , . . . , u _n ) ^T ∈ R _n , x = (x ₁ , . . . , x _n ) ^T ∈ R _n .

g) Man gebe die von folgenden Verteilungen erzeugten kanonischen Exponential- familien an:

i)Exp(λ), ii) Poisson (λ), iii) Γ(α, λ), iv)N(µ, σ ² )

2. Es sei (X _n ) 0≤n≤N eine Markovsche Kette auf dem Zustandsraum {0, 1} mit X ₀ = i ₀ ∈ {0, 1} und den ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten p ₀ = IP (X _n+1 = 1|X _n = 0), q ₀ = IP (X n+1 = 0|X n = 0), p 1 = IP (X x+1 = 0|X n = 1) und q 1 = IP (X n+1 = 1|X n = 1) sowie der Anfangsverteilung P (X ₀ = 1) = P (X ₀ = 0) = ¹ ₂ . Es gelte p ₀ , p ₁ ∈ (0, 1).

a) Stellen Sie die Likelihoodfunktion auf und bestimmen Sie Maximum-Likelihood- sch¨ atzungen von p 0 , q 0 , p 1 , q 1 .

b) Untersuchen Sie die erhaltenen Sch¨ atzungen hinsichtlich Konsistenz.

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