1) Es sei H ein separabler unendlich-dimensionaler Hilbertraum und {w

Ubungsaufgaben: Nichtlineare Funktionalanalysis ¨ Serie 1

PD Dr. B. Rummler Sommersemester 2020

1) Es sei H ein separabler unendlich-dimensionaler Hilbertraum und {w

}

ein voll- st¨ andiges ONS in H . M := {x ∈ H : ||x|| ≤ 1} = K(o

, 1) sei die abgeschlossene Einheitskugel in H und jedes x ∈ H habe die Fourier-Darstellung x = P

j=1

a

w

. Zeigen Sie, dass durch T : D(T ) = M → H

T (x) := ( p

1 − ||x||

)w

+

∞

X

j=2

a

w

∀ x ∈ M

eine stetige Abbildung erkl¨ art wird.

2) (Peano) Vorgegeben sei das Anfangswertproblem (AWP):

x

(t) = d

dt x(t) = g(t, x(t)) , x(t

) = x

.

Zeigen Sie mit Hilfe des Schauderschen Fixpunktsatzes den Satz von Peano:

Es seien t

, x

und a , b : 0 < a, b < ∞ vorgegeben.

Auf Q := {(t, x)

∈ E

: |t − t

| ≤ a , |x − x

| ≤ b} sei g stetig mit |g(., .)| ≤ K beschr¨ ankt.

Beh: Das AWP hat eine stetig differenzierbare L¨ osung in [t

− c, t

+ c] bei c :=

min(a,

).

3) Es sei X ein separabler unendlich-dimensionaler Banachraum, f : X → X eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass f¨ ur alle beschr¨ ankten Mengen M ⊂ X das Bild F (M) pr¨ akompakt sei.

Desweiteren existiere eine Zahl R ∈ R mit der Eigenschaft, dass bei fixem τ ∈ [0, 1]

f¨ ur x ∈ X als L¨ osung der Gleichung x − τ F (x) = 0 : ||x||

≤ R gilt.

Zeigen Sie: F hat einen Fixpunkt in X !