H 20. Teilchen im unendlich tiefen Potentialtopf

(1)

1. Dezember 2010 PD Dr. H. Kohler, C. Recher

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — ¨ Ubung 7

Abgabe: 8.12 2010

H 20. Teilchen im unendlich tiefen Potentialtopf

In der Vorlesung haben Sie die Eigenfunktionen eines Teilchens im unendlich tiefen Potentialtopf kennengelernt

ψ

n

(x) = r 2

L cos

πx(2n − 1) L

, ψ ˜

n

(x) = r 2

L sin

2πnx L

, n = 1, 2, . . . . (1) Berechnen Sie f¨ ur den Grundzustand ψ

1

(x) sowie den ersten angeregten Zustand ˜ ψ

1

(x) die Erwartungswerte von ˆ x, x ˆ

²

, p ˆ und ˆ p

²

.

H21. Matrixdarstellung von ˆ a und ˆ a

^†

Seien |ψ

_n

i, n = 1, . . . , ∞ die Energieeigenzust¨ ande des harmonischen Oszillators. Ein beliebiger Zustand |ψi kann stets nach diesen Eigenzust¨ anden entwickelt werden

|ψi =

∞

X

n=0

ψ

_n

|ψ

_n

i. (2)

Die Entwicklungskoiffizienten ψ

n

sind die Komponenten eines (unendlich dimensionalen) Vektors

ψ ~ =





 ψ

₀

ψ

1

ψ

2

.. .







. (3)

Ebenso lassen sich die Operatoren ˆ a und ˆ a

^†

als (unendlichdimensionale) Matrizen auf- fassen. Verwenden Sie

ˆ

a

^†

|ψ

_n

i = √

n + 1|ψ

_n+1

i und ˆ a|ψ

_n

i = √

n|ψ

_n−1

i (4)

um ˆ a|ψi und ˆ a

^†

|ψi zu bestimmen. Leiten Sie hieraus die Matrixdarstellung von ˆ a

^†

und ˆ a in der Energieeigenbasis her. Die Matrixeintr¨ age sind durch hψ

_m

|ˆ a

^†

|ψ

_n

i bzw.

hψ

_m

|ˆ a|ψ

_n

i gegeben. Bestimmen Sie mit Hilfe dieser auch die Matrixdarstellung vom Besetzungszahloperator ˆ n = ˆ a

^†

ˆ a.

H21. Teilchen im st¨ uckweise konstanten Potential

Betracheten Sie ein Teilchen mit der Energie E das sich in eine in dem st¨ uckweise

konstanten, eindimensionalen Potential V (x)

(2)

bewegt. Skizzieren Sie qualitativ die Wellenfunktion f¨ ur die drei F¨ alle 1. E < V

₀

2. V

₀

0 < E < V

₁

3. E > V

1

.

In welchen F¨ allen ist das Spektrum diskret bzw. kontinuierlich?