Aufgabe H4.1: Unendlich hoher Potentialtopf (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik SoSe 17 Vorlesung: Dr. Bj¨ orn Eichmann

Ubungen: Dr. Fabian Bos ¨

Ubungsblatt H4 ¨ Abgabe: 16.06. bis 14.00 Uhr im Zettelkasten, NB7 Nord

Aufgabe H4.1: Unendlich hoher Potentialtopf (10 Punkte)

Ein Teilchen der Masse m bewege sich in einem eindimensionalen, unendlich hohen Potentialtopf:

V (x) =

( 0 f¨ ur |x| < a

∞ sonst (1)

(a) Zeichnen Sie eine Skizze mit dem beschriebenen Sachverhalt.

(b) Stellen Sie die zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung auf und formulieren Sie die Randbedingun- gen.

(c) Berechnen Sie die diskreten Energieeigenwerte mit den zugeh¨ origen Eigenfunktionen. Hinweis:

Nutzen Sie gerade und ungerade Parit¨ at aus.

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Ortsintervall

− a

2 ≤ x ≤ a

2 (2)

zu finden?

Aufgabe H4.2: Doppelte Potentialstufe (10 Punkte)

Eine von links kommende Teilchenwelle falle auf eine Potentialdoppelstufe:

V (x) =



 

 

0 f¨ ur x ≤ 0

V0

2

f¨ ur 0 < x < a V

f¨ ur a ≤ x

(3)

F¨ ur die Energie gilt: E > V

(a) Zeichnen Sie eine Skizze mit dem beschriebenen Sachverhalt.

(b) Wie lautet der Reflexionskoeffizient f¨ ur die bei x = 0 reflektierte Welle?

Hinweise zur Herangehensweise: Stellen Sie zun¨ achst die Wellenfunktionen f¨ ur die drei relevanten Bereiche auf. ¨ Uberlegen Sie sich dann wie der Reflexionskoeffizient (Stromdichten) definiert ist und nutzen Sie die Stetigkeitsbedingungen aus.

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Aufgabe H4.3: Tunneleffekt (10 Punkte)

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