14. Teilchen im Potentialtopf - mittlere Position

UNIVERSIT ¨ AT LEIPZIG

INSTITUT F ¨ UR THEORETISCHE PHYSIK

Quantenmechanik I Ubungsblatt 5 ¨

solutions

14. Teilchen im Potentialtopf - mittlere Position

F¨ur den Erwartungswert des Ortsoperators im Zustand ψ ¹ gilt offenbar hxi ψ

= hψ ¹ |x|ψ ¹ i =

Z a

−a

x|ψ ¹ (x)| ² dx = 0

da die Funktion |ψ ¹ (x)| ² gerade ist und x ungerade. Ebenso gilt auch hxi ψ

= 0

F¨ur den Erwartungswert des Ortoperators im Zustand ψ α erhalten wir mit f = exp(iα):

hxi _ψ

= 1

2 hψ 1 +f ψ 2 |x|ψ 1 +f ψ 2 i

= Re{f hψ ¹ |x|ψ ² i}

= hψ ¹ |x|ψ ² i cos α

Hierbei wurden verwendet, daß hψ ¹ |x|ψ ¹ i = 0 = hψ ² |x|ψ ² i gilt, x sym- metrisch ist und hψ ¹ |x|ψ ² i reell ist. Es bleibt dieses Matrixelement zu berechnen:

hψ ¹ |x|ψ ² i = 1 a

Z a

− a

cos πx 2a

x sin πx a

dx

= 4a π ²

Z π/ 2

− π/ 2

cos(y)y sin(2y)dy

= 32a

9π ²

also

hxi _ψ

= 32a 9π ² cos α

Dieser Erwartungswert wird offenbar maximal f¨ur α = 0. Dies ist auch aus der folgenden Grafik ersichtlich, in der die Wahrscheinlichkeitsdich- te der Superposition, |ψ α (x)| ² , f¨ur verschiedene Werte von α aufgetra- gen ist (wobei a = 1 gesetzt wurde).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

-1 -0.5 0 0.5 1

alpha = 0 alpha = pi/2 alpha = pi

15. Teilchen im Potentialtopf - andere Observablen

Wir beginnen mit dem Erwartungswert von x ² in den Zust¨anden ψ ¹ , ψ ² und ψ α :

(ψ 1 , x ² ψ 1 ) = 1 a

Z a

−a

x ² cos ² πx 2a

dx

= 1 a

2a π

³ Z π/ 2

−π/ 2

y ² cos ² y dy

= a ² 1

3 − 2 π ²

Analog erh¨alt man

(ψ ² , x ² ψ ² ) = a ² 1

3 − 1 2π ²

und schließlich mit f = exp(iα) (ψ _α , x ² ψ _α ) = 1

2 Z

dx x ² (ψ 1 + f ψ 2 )(ψ 1 + ¯ f ψ 2 )

= 1 2

(ψ ¹ , x ² ψ ¹ ) + (ψ ² , x ² ψ ² )

= a ² 2

2 3 − 5

2π ²

wobei verwendet wurde, daß ψ ¹ symmetrisch, ψ ² antisymmetrisch ist.

Als n¨achstes berechnen wir den Wahrscheinlichkeitsstrom J(x) = − i ~

2m

ψψ ¯ ⁰ − c.c.

Da ψ ¹ und ψ ² reell sind, gilt offensichtlich J ψ

= 0 = J ψ

F¨ur ψ _α erhalten wir

J ψ

= (ψ ¹ + ¯ f ψ ² )(ψ ⁰ 1 + f ψ 2 ⁰ ) − c.c. = (f − f ¯ )(ψ ¹ ψ 2 ⁰ − ψ ⁰ 1 ψ ² ) und somit

J ψ

| x =0 = ~ π a ² m sin α Dieser Strom wird offenbar maximal f¨ur α = π/2.

Als Erwartungswert von p ² im Zustand ψ ¹ ergibt sich (ψ ¹ , p ² ψ ¹ ) = (ψ ¹ , − ~ ² ∂ ²

∂x ² ψ ¹ ) = (ψ ¹ , ~ ² π ²

4a ² ψ ¹ ) = ~ ² π ²

4a ²

Nun k¨onnen wir die Orts-Impuls-Unsch¨arfe f¨ur ψ ¹ uberpr¨ufen: ¨ hxi = 0

hx ² i = a ² 1

3 − 2 π ²

∆x ² = hx ² i − hxi ² = a ² 1

3 − 2 π ²

hpi = 0 hp ² i = ~ ² π ²

4a ²

∆p ² = hp ² i − hpi ² = ~ ² π ² 4a ² somit ∆x · ∆p = ~

2 r π ²

3 − 2 > ~ 2

Schließlich betrachten wir noch einen zeitabh¨angigen Winkel α = E ¹²

~ · t

In Aufgabe 14 ergab sich

hxi ψ

∼ cos α = cos E ¹²

~ · t

somit eine Oszillation des Erwartungswerts des Orts-Operators mit der Frequenz

ν = 1 2π

E ¹²

~ ⇔ E ¹² = hν

F¨ur eine Frequenz von ν ≥ 1Hz ergibt sich ein Energieunterschied von E ¹² ≥ 6.626 × 10 ^{− 34} J .

16. Permanente Dipolmomente

Aus der Aufgabe 11 wissen wir schon, dass die Wellenfunktionen der

Bindungszust¨ande eines symmetrischen Potentials entweder symme-

trisch oder antisymmetrisch sind. Daraus folgt unmittelbar

|ψ n (x)| ² = |ψ n (−x)| ² Folglich gilt

(ψ n , Dψ n ) = e Z

|ψ n (x)| ² xdx = −e Z

|ψ n (−x)| ² (−x)d(−x) = −(ψ n , Dψ n )

und damit die Behauptung.