SS 2014 Jetlir Duraj Wahrscheinlichkeitstheorie
L¨osung zu H4, Blatt 3
Zun¨achst bemerken wir, dass f¨ur beliebige Mengen aus einerσ-Algebra mit der Definition A4B = (A\B)∪(B\A) gilt
P(A)−P(B) =P(A)−P(A∩B)−P(B\A)≤P(A\B)≤P(A4B) und wegen Symmetrie (Vertauschung von A und B) dann auch
|P(A)−P(B)| ≤P(A4B). (1)
Ausserdem, es ist trivial zu sehen, dass θ : Ω → Ω, die Rechtsschift, eine bijektive Ab- bildung ist mit Inverse, die Linksshift θ−1 : Ω→ Ω,((ωk)k∈Z) →(ωk−1)k∈Z. Daraus folgt, dass auch θl : Ω→Ω eine Bijektion f¨ur jeden l ∈Zist.
Letzteres impliziert, dass f¨ur jeden l∈Z;A, B ∈ A
θl(A4B) = (θl(A))4(θl(B)).
Ausserdem, ein Dynkin-Argument angewendet auf die Menge {A ∈ A|P(θ(A)) =P(A)}
ergibt, dass diese Menge =A ist. Denn, wegen i.i.d.-Eigenschaft der Koordinaten enth¨alt sie den kanonischen ∩-stabilen Erzeuger von A = A⊗1Z und somit kann man hier (das
¨ubliche) Korollar 1.39, Seite 19 aus Skript von Analysis 3 anwenden. Es folgt daraus mit einer einfachen Induktion, dass auch P(θl(A)) = P(A) f¨ur jedenl ∈Z und jedenA∈ A.
Nehme nun eine A ∈ A translationsinvariant und f¨ur i ∈ Z die ¨ublichen Koordinaten- abbildungen Xi : ΩZ1 → Ω1. Diese sind laut Voraussetzung (und T2 aus Blatt 2) i.i.d.
Zufallsvariablen.
Wegen T4, Blatt 3 gilt: f¨ur jedenm∈Nes existiert eine MengeBm ∈ Aund Koordinaten Xi1, . . . , Xin mit n∈N und (o.B.d.A)i1 <· · ·< in, sodass
P(A4Bm)< 1
m, und Bm ∈σ(Xi1, . . . , Xin).
F¨ur so eine Bm gilt aber θ−(in−i1)−1(Bm) ∈ σ(X2i1−in−1, . . . , Xi1−1), welche unabh¨angig von σ(Xi1, . . . , Xin) ist.
Da noch wegen Translationsinvarianz θl(A) = A f¨ur jeden l ∈ Z gilt, folgt die Existenz f¨ur jeden m∈N von einer Menge Bm und von einer k(m)∈N mit
P(A4Bm)< 1 m und
Bm unabh¨angig von θ−k(m)(Bm).
Es folgt wegen der Bijektivit¨at von θ−k(m) und der Translationsinvarianz von A P(A4θ−k(m)(Bm)) = P(θ−k(m)(A4Bm)) =P(A4Bm)< 1
m.
Zusammengefasst: f¨ur jedenm ∈Nes gibt Bm und Bm0 aus A mit P(A4Bm) = P(A4Bm0 )< 1
m und
Bm ist vonBm0 unabh¨angig.
Es folgt dann sofort mit der Ungleichung (1), dass
m→∞lim P(Bm) = lim
m→∞P(Bm0 ) =P(A). (2) Somit, wegen Unabh¨angigkeit von Bm und Bm0 , auch
m→∞lim P(Bm∩Bm0 ) = lim
m→∞P(Bm)P(Bm0 ) = P(A)2. (3) Nun impliziert aber die leicht nachzuvollziehende Ungleichung A4B ⊂(A4C)∪(C4B)
0≤P(Bm)−P(Bm∩Bm0 ) = P(Bm\Bm0 )
≤P(Bm4Bm0 )≤P(Bm4A) +P(A4Bm0 )−→0, f¨ur m→ ∞.
Somit folgt mit (2) und (3), dass P(A)2 =P(A). Dies ist ¨aquivalent zu P(A)∈ {0,1}.