Relationen und Funktionen

Dr. Regula Krapf Sommersemester 2018

Relationen und Funktionen

Definition. SeienM undN Mengen. EineRelationaufM×N ist eine TeilmengeR⊆M×N. Falls (x, y)∈R, so schreibt man auchx∼_Ryund sagt, dassxin Relation zuysteht.

Man kann eine RelationR⊆M×N auch direkt durch∼_R angeben, denn aus∼_Rerhält man R={(x, y)∈M×N |x∼_Ry}.

WennM=N, so sagt man auch, dassR(bzw.∼_R) eine Relation aufM definiert.

Relationen auf endlichen Mengen lassen sich durchPfeildiagrammedarstellen.

Beispiel. SeiM=N ={a, b, c, d, e}und seiRdie Relation gegeben durch R={(a, b),(b, c),(b, d),(c, c),(c, d),(d, a),(d, c),(e, b)}. Diese Relation lässt sich durch folgendes Diagramm darstellen:

Definition. SeiMeine Menge. Eine RelationR⊆M heißt

• reflexiv, fallsx∼_Rxfür allex∈M.

• irreflexiv, fallsx/Rxfür allex∈M.

• symmetrisch, fallsx∼_Ry=⇒y∼_Rxfür allex, y ∈M.

• antisymmetrisch, falls für allex, y∈M ausx∼_Ry undy∼_Rxschonx=yfolgt.

• transitiv, falls für allex, y, z∈Mausx∼_Ryundy∼_Rzschonx∼_Rzfolgt.

Aufgabe 1.SeiMdie Menge aller Studendierenden an der Uni Koblenz. Überprüfen Sie die folgen- den Relationen aufM auf Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität:

(1) x∼y:⇐⇒xundyhaben denselben Studiengang fürx, y∈M (2) x∼y:⇐⇒xkenntyfürx, y∈M

(3) x∼y:⇐⇒xhat einen längeren Weg zur Uni alsyfürx, y∈M

Aufgabe 2. Sei M ={1,2,3}. Zeichnen Sie je eine Relation aufM, die reflexiv, irreflexiv, symme- trisch, antisymmetrisch resp. transitiv ist.

Wir charakterisieren die Relationseigenschaften auf endlichen Mengen bzgl. der Darstellung durch Pfeildiagramme:

Eine Relation∼auf einer endlichen MengeM ist...

• reflexiv, falls

• irreflexiv, falls

• symmetrisch, falls

• antisymmetrisch, falls

• transitiv, falls

Definition. Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man eineÄquivalenz- relation. Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißtOrdnungsrelation.

Aufgabe 3. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Welche sind Ordnungs- relationen?

(1) ≤aufN (2) <aufN (3) = aufN (4) ⊆aufP(N) (5) |aufN (6) |aufZ

(7) ≡auf der Menge aller Aussagen

Lemma. Die Teilbarkeitsrelation|ist eine Beweis.

Aufgabe 4. SeienMundN Mengen. Was ist eine Funktionf :M→N? Wie haben Sie Funktionen in der Schule eingeführt? Finden Sie Beispiele für Funktionen.

Fallsf :M→N eine Funktion ist, so ist

eine Relation.

Definition. SeienM, N Mengen. EineFunktionist eine Relationf ⊆M×N mit folgenden Eigen- schaften:

(1) (2)

Statt (x, y)∈f schreibt man

y=f(x) oder x7→f(x).

Die MengeMwird alsDefinitionsbereichvonf und die MengeN alsWertebereichvonf bezeichnet.

Aufgabe 5. Bei welchen der folgenden Zuordnungen handelt es sich um Funktionen?

(1) Kind7→Vater (2) Vater7→Kind

(3) Mensch7→Telefonnummer (4) Mensch7→Alter

(5) Alter7→Mensch

Funktionenf :M →N mitM, N⊆Rlassen sich durch einenFunktionsgraphendarstellen:

Aufgabe 6. Stellen Sie die folgenden Funktionen alsFunktionsgraphdar:

(1) f :R→R,x7→ |2x+ 1| (2) f :R→R,x7→(x−1)²+ 1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−1 1 2 3 4 5

0 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1 1 2 3 4 5

0

Definition. SeienM undN beliebige Mengen sowie f :M →N eine Funktion. Wir nennen die Funktionf

• injektiv, falls für allex₁, x₂∈M ausf(x₁) =f(x₂) schonx₁=x₂folgt.

• surjektiv, falls für jedesy∈N einx∈Mexistiert mitf(x) =y.

• bijektiv, fallsf injektiv und surjektiv ist.

Aufgabe 7. Welche der Eigenschaften injektiv/surjektiv/bijektiv haben die folgenden Funktionen (als Funktionen [0,1]→[0,1])?

Für Funktionenf :M →N mitM, N ⊆Rkann man die Funktionseigenschaften wie folgt geome- trisch interpretieren: Die Funktionf ist...

• injektiv, falls

• surjektiv, falls

• bijektiv, falls

Beispiel. Die Funktionf :M→N , f(x) =x²−1 ist

• weder injektiv noch surjektiv für

• injektiv, aber nicht surjektiv für

• surjektiv, aber nicht injektiv für

• bijektiv für

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4

−2

−1 1 2 3 4 5

0

Beispiel. Welche Eigenschaften haben die folgenden Funktionen?

(1) f :Z→Z, a7→4a−13 (2) g:Q→Q, a7→4a−13 (3) h:R→R, x7→x²+ 6x+ 9 (4) k:N→N, n7→Q(n)

Definition. Wenn f :M →N und g : N →P zwei Funktionen sind, so können wir die beiden Funktionen “hintereinanderschalten”. So erhalten wir eine Funktiong◦f :M→P.

Formal istg◦f definiert durch (g◦f)(x) :=g(f(x)), d.h. wir wenden zuerstf aufxan, und danach gauff(x).

Beispiel. Seienf :R→R, x7→ |x|undg:R→R, x7→x−1. Dann gilt (g◦f)(x) =

Aufgabe 8. Seienf , g:R→Rmitf(x) =e^x undg(x) =x². Geben Sieg◦f undf ◦g an. Erfüllt die Komposition von Funktionen das Kommutativgesetz?

Wie zeigt man, dass zwei Funktionenf , g :M→N gleich bzw. verschieden sind? Die Funktionen f , gsind

• gleich, falls

• verschieden, falls

Lemma. Die Komposition von Funktionen erfüllt dasAssoziativgesetz, aber nicht dasKommutativ- gesetz, d.h. für Funktionenf :M→N , g:N →P undh:P →Qgilt

h◦(g◦f) = (h◦g)◦f ,

aber im Allgemeinen f ◦g,g◦f (fürP =M).

Beweis.

Lemma. Seienf :M→N undg:N →P Funktionen.

(1) Fallsf , ginjektiv sind, so istg◦f injektiv.

(2) Fallsf , gsurjektiv sind, so istg◦f surjektiv.

(3) Fallsf , gbijektiv sind, so istg◦f bijektiv.