Dr. Regula Krapf Sommersemester 2019
Relationen und Funktionen
Definition. SeienM undN Mengen. EineRelationaufM×N ist eine TeilmengeR⊆M×N. Falls (x, y)∈R, so schreibt man auchx∼
Ryund sagt, dassxin Relation zuysteht.
Man kann eine RelationR⊆M×N auch direkt durch∼R angeben, denn aus∼Rerhält man R={(x, y)∈M×N |x∼Ry}.
WennM=N, so sagt man auch, dassR(bzw.∼R) eine Relation aufM definiert.
Relationen auf endlichen Mengen lassen sich durchPfeildiagrammedarstellen.
Beispiel. SeiM=N ={a, b, c, d, e}und seiRdie Relation gegeben durch R={(a, b),(b, c),(b, d),(c, c),(c, d),(d, a),(d, c),(e, b)}. Diese Relation lässt sich durch folgendes Diagramm darstellen:
Relationen auf der MengeRder reellen Zahlen lassen sich im Koordinatensystem darstellen:
Beispiel. Wir betrachten die Relation aufRdefiniert durch
R={(x, y)∈R2|(x−1)2+ (y−2)2<4}. Wir zeichnenRim Koordinatensystem:
−2 −1 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
• transitiv, falls für allex, y, z∈Mausx∼Ryundy∼Rzschonx∼Rzfolgt.
Beispiel. Wir untersuchen die Relation auf der MengeMaller Menschen definiert durch x∼y:⇐⇒xist verwandt mity.
Aufgabe 1. SeiMdie Menge aller Studendierenden an der Uni Koblenz. Überprüfen Sie die folgen- den Relationen aufMauf Reflexivität, Irreflexivität, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivität:
(1) x∼y:⇐⇒xundy haben denselben Studiengang fürx, y∈M (2) x∼y:⇐⇒xkenntyfürx, y∈M
(3) x∼y:⇐⇒xhat einen längeren Weg zur Uni alsyfürx, y ∈M
(4) x∼y:⇐⇒ die Matrikelnummer vonxist kleiner als diejenige vony.
Aufgabe 2. Sei M ={1,2,3}. Zeichnen Sie je eine Relation auf M, die reflexiv, irreflexiv, symme- trisch, antisymmetrisch resp. transitiv ist.
Wir charakterisieren die Relationseigenschaften auf endlichen Mengen bzgl. der Darstellung durch Pfeildiagramme:
Eine Relation∼auf einer endlichen MengeM ist...
• reflexiv, falls
• irreflexiv, falls
• symmetrisch, falls
• antisymmetrisch, falls
• transitiv, falls
Definition. Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, nennt man eineÄquivalenz- relation. Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißtOrdnungsrelation.
Aufgabe 3. Welche der folgenden Relationen sind Äquivalenzrelationen? Welche sind Ordnungs- relationen?
(1) ≤aufN (2) <aufN (3) = aufN (4) ⊆aufP(N) (5) |aufN (6) |aufZ
(7) ≡auf der Menge aller Aussagen
Aufgabe 4. Suchen Sie je zwei Beispiele für Äquivalenzrelationen auf (1) der Menge aller Menschen
(2) der Menge aller Dreiecke in der Ebene.
Beispiel. Beginnend beim Urknall kann manR≥0={t∈R|t≥0}als Menge aller Zeitpunkte auffas- sen. Sei∼definiert aufR≥0durcht1∼t2, fallst1undt2derselben Uhrzeit entsprechen. Es gilt
t1∼t2⇐⇒
Die Relation∼definiert eine Äquivalenzrelation aufR≥0:
Aufgabe 5. SeienM undN Mengen. Was ist eine Funktionf :M →N? Wie haben Sie Funktionen in der Schule eingeführt? Finden Sie Beispiele für Funktionen.
Fallsf :M→N eine Funktion ist, so ist eine Relation.
Definition. SeienM, N Mengen. EineFunktion ist eine Relationf ⊆M×N mit folgenden Eigen- schaften:
(1) (2)
Zusammengefasst bedeuten (1) und (2):
Statt (x, y)∈f schreibt man
y=f(x) oder x7→y.
Die MengeM wird alsDefinitionsbereichvonf und die MengeN alsWertebereichvonf bezeichnet.
Aufgabe 6. Bei welchen der folgenden Zuordnungen handelt es sich um Funktionen?
(1) Kind7→Vater (2) Vater7→Kind
(3) Mensch7→Telefonnummer (4) Mensch7→Alter
(5) Alter7→Mensch
Funktionenf :M →N mitM, N⊆Rlassen sich durch einenFunktionsgraphendarstellen:
Aufgabe 7. Stellen Sie die folgenden Funktionen alsFunktionsgraphdar:
(1) f :R→R,x7→ |2x+ 1| (2) f :R→R,x7→(x−1)2+ 1
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1 1 2 3 4 5
0 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
0
Definition. SeienM undN beliebige Mengen sowie f :M →N eine Funktion. Wir nennen die Funktionf
• injektiv, falls für allex1, x2∈M ausf(x1) =f(x2) schonx1=x2folgt.
• surjektiv, falls für jedesy∈N einx∈Mexistiert mitf(x) =y.
• bijektiv, fallsf injektiv und surjektiv ist.
c d
3 4
c d
3 4
c d
3 4
c d
3 4
Aufgabe 9. Welche der Eigenschaften injektiv/surjektiv/bijektiv haben die folgenden Funktionen (als Funktionen [0,1]→[0,1])?
Beispiel. Die Funktionf :M→N , f(x) =x2−1 ist
• weder injektiv noch surjektiv für
• injektiv, aber nicht surjektiv für
• surjektiv, aber nicht injektiv für
• bijektiv für
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−2
−1 1 2 3 4 5
0
Für Funktionenf :M →N mitM, N ⊆Rkann man die Funktionseigenschaften wie folgt geome- trisch interpretieren: Die Funktionf ist...
• injektiv, falls
• surjektiv, falls
• bijektiv, falls
Aufgabe 10. Welche Eigenschaften haben die folgenden Funktionen?
(1) f :Z→Z, a7→2a−1 (2) g:Q→Q, a7→2a−1 (3) h:R→R, x7→x2+ 6x+ 9 (4) k:N→N, n7→Q(n)
Formal istg◦f definiert durch (g◦f)(x) :=g(f(x)), d.h. wir wenden zuerstf aufxan, und danach gauff(x).
Beispiel. Seienf :R→R, x7→ |x|undg:R→R, x7→x−1. Dann gilt (g◦f)(x) =
Aufgabe 11. Seienf , g:R→Rmitf(x) =exundg(x) =x2. Geben Sieg◦f undf ◦gan. Erfüllt die Komposition von Funktionen das Kommutativgesetz?
Wie zeigt man, dass zwei Funktionenf , g:M →N gleich bzw. verschieden sind? Die Funktionen f , gsind
• gleich, falls
• verschieden, falls
Lemma. Die Komposition von Funktionen erfüllt dasAssoziativgesetz, aber nicht dasKommutativ- gesetz, d.h. für Funktionenf :M→N , g:N →P undh:P →Qgilt
h◦(g◦f) = (h◦g)◦f ,
aber im Allgemeinen f ◦g,g◦f (fürP =M).
Beweis.
Lemma. Seienf :M→N undg:N →P Funktionen.
(1) Fallsf , g injektiv sind, so istg◦f injektiv.
(2) Fallsf , g surjektiv sind, so istg◦f surjektiv.
(3) Fallsf , g bijektiv sind, so istg◦f bijektiv.
Beweis.
Für eine bijektive Funktionf :M→N gilt:
D.h. man kann die Funktion auch (in eindeutiger Art und Weise!) „rückgängig“ machen:
Die Funktionf−1:N →M definiert durch
f−1(y) =x⇐⇒f(x) =y wird alsUmkehrfunktionvonf bezeichnet.
Beispiel. Die Funktionf :R≥0→R≥0, x7→x2ist bijektiv mit Umkehrfunktion gegeben durch f−1(y) =
−2 −1 1 2 3 4 5
−1 1 2 3 4 5
Man erhält die Umkehrfunktion durch Spiegelung des Funktionsgraphen von f an der Gerade y=x.
Für eine reelle bijektive Funktionf :M →N mitM, N ⊆Rlässt sich die Umkehrfunktion durch Auflösung der Gleichungf(x) =ynachxbestimmen:
Beispiel. Wir bestimmen einen maximalen Definitionsbereich M und Wertebereich N, sodass die Funktion
x7→f(x) =
√ x+ 1
√ x−1 bijektiv ist und bestimmen die Umkehrfunktion.
