In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die je‐

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4. Abbildung / Funktion

In der Mathematik ist eine Funktion oder Abbildung eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die je‐

dem Element der einen Menge (Eingangsgröße, Funktionsargument, unabhängige Variable, x‐Wert) ein Element der anderen Menge (Ausgangsgröße, Funktionswert, abhängige Variable, y‐Wert) zuord‐

net. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven , Skalar‐ und Vektorfel‐

der, Koordinatentransformationen, Operatoren und vieles mehr.

4.1. Begriffsgeschichte

Das Nebeneinander der Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ ist nur historisch zu verstehen.

Der Begriff „Funktion“, 1694 von Leibniz eingeführt, wurde zunächst als formelmäßige Rechenvor‐

schrift aufgefasst, zum Beispiel y = x

²

oder f(x) = sin(x). In der Schulmathematik wurde dieser naive Funktionsbegriff bis weit in die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts beibehalten. Bisweilen wurden auch mehrdeutige Funktionen, zum Beispiel eine im Vorzeichen unbestimmte Quadratwurzelfunkti‐

on, zugelassen.

Erst als die Analysis im 19. Jahrhundert mit einem exakten Grenzwertbegriff auf eine neue Grundlage gestellt wurde, entdeckten Weierstraß, Dedekind und andere, dass Grenzwerte unendlicher Folgen

„klassischer“ Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch „geschlossene“ Formeln (mit endlich vielen Rechenoperationen) ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Auswei‐

tung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systema‐

tisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit „Transformation“ auch die Begriffe „Bewegung“ und „Abbildung“ gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Men‐

genlehre formuliert wurden, stellten sich die Begriffe „Funktion“ und „Abbildung“ dann als de‐

ckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Ge‐

ometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwi‐

schen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper.

Weitere Synonyme in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operation in der Analysis, Verknüpfung und Morphismus in der Algebra.

4.2. Definitionen und Konventionen 4.2.1. Grundidee

Eine Funktion f ordnet jedem Element x einer Definitionsmenge D genau ein Element y einer Ziel‐

menge Z zu.

Schreibweise:

f: D ⟶ Z, x ↦ y Anmerkungen:

 Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge muss (wenn überhaupt) nicht nur ei‐

nem Element des Definitionsbereiches zugeordnet worden sein.

 Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge Q gegeben. Wenn f als Re‐

chenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge D

_f

, indem man von Q diejenigen Elemente ausschließt, für die f nicht definiert ist.

4.2.2. Mengentheoretische Definition

Mengentheoretisch ist eine Funktion eine spezielle Relation:

Eine Funktion von der Menge D in die Menge Z ist eine Menge f, die die folgenden Eigenschaften hat:

f ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts D Z von D und Z, d. h. f eine Relation.

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2 Für jedes Element x aus D existiert (mindestens) ein Element y in Z, so dass das geordnete Paar (x,y) Element der Relation f ist. f ist also linkstotal.

Zu jedem Element x von D gibt es höchstens ein Element y von Z, so dass das Paar (x,y) in f liegt. f ist damit rechtseindeutig bzw. funktional.

Die letzten beiden Eigenschaften lassen sich auch wie folgt zusammenfassen:

Zu jedem Element x von D gibt es genau ein Element y von Z, so dass das Paar (x,y) Element der Rela‐

tion f ist.

Oft möchte man aber auch die Zielmenge explizit zu einem Teil der Funktion machen, zum Beispiel um Aussagen zur Surjektivität anstellen zu können:

Ein Paar f = (G

_f

,Z), bestehend aus einer Relation G

_f

und einer Menge Z, heißt Funktion von der Menge D nach Z, wenn gilt: G

_f

⊆ D Z und zu jedem Element x von D gibt es genau ein Element y von Z (ge‐

schrieben y = f(x)), so dass das Paar (x,y) Element von G

_f

ist.

G

_f

wird auch der Graph der Funktion f genannt. Die Definitionsmenge D der Funktion ist dabei durch

ihren Graphen eindeutig bestimmt und besteht aus den ersten Komponenten aller Elemente des Graphen. Stimmen zwei Funktionen in ihren Graphen überein, so sagt man auch, sie seien im We‐

sentlichen gleich.

Man kann jedoch auch noch die Definitionsmenge hinzunehmen und eine Funktion entsprechend als ein Tripel f = (G

_f

,D,Z), G

_f

wie oben, definieren.

4.2.3. Verschiedene Weisen, eine Funktion zu spezifizieren

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsterm x

²

Funktionsgleichung f(x) = x

²

Zuordnungsvorschrift

x ↦ x

²

Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsbereiche) x 1 2 3 4 5 6 7 …

y 1 4 9 16 25 36 49 …

Als Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge f = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16), …}.

Als Komposition von anderen Funktionen oder als Inverse einer anderen Funktion.

4.2.4. Symbolische Schreibweisen

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

Symbol Erklärung

f: A ⟶ B Funktion von A nach B

f: a ↦ b Funktion, die a auf b abbildet; statt b kann auch eine Formel o. Ä. stehen (a,b) ∈ f

(a,b) ∈ G

_f

Funktion, die a auf b abbildet; statt b kann auch eine Formel o. Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)

f: a ↦ f(a):= b

Funktion, die a auf b abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Be‐

schreibung der Funktionssymbolik (statt f(a) stehen oft Dinge wie c

a a

a

^¹

, ,  u. Ä.) und der Formel o. Ä. (an der Stelle von b) zur Berechnung

des Bildes angibt f:A⟶B,a↦f(a):= b

Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o. Ä.

zur Berechnung des Bildes angibt

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3 f: A ↣ B injektive Funktion von A nach B f: A ↠ B surjektive Funktion von A nach B f: A ↔ B

f: A ⇄ B f: A ⤖ B

bijektive Funktion von A nach B

f: A ↪B

Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von A in B (A ist Untermenge von B, und die Funktion bildet jedes Element von A auf sich ab.)

f = id

_A

f: A⟶A, a ↦a f: A = B

Identität, identische Abbildung auf A bzw. von A nach B (A = B, und die Funktion bildet jedes Element auf sich ab.)

f: A B f: A ↪B f: A ≅ B

Isomorphismus von A nach B

f: A ⇝B partielle Funktion (s. o.) von A nach B f: A ⊸B mehrdeutige Funktion (s. o.) von A nach B

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

4.2.5. Schreib‐ und Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes y zu einem Argument x gibt es eine Reihe verschiedener Sprech‐ bzw. ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier eini‐

ge Beispiele:

„x wird abgebildet auf f von x“

„f von x wird x zugeordnet“ (vornehmlich, wenn das ↦‐Symbol in der Symbolik steht)

„y gleich f von x“ (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)

„y ist das Bild von x unter der Abbildung f“

Davon zu unterscheiden ist die Sprech‐ und Schreibweise: „y ist eine Funktion von x“, die vor allem in der Physik und in der Physik sehr nahe stehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech‐ und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen y von einer anderen Variablen x, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen x und y (stellvertre‐

tend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die „physikalische“

Sprechweise stammt von dem Vorgehen, erst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Reali‐

tät) Symbole, nämlich die Variablen x und y, zuzuordnen, und danach deren Abhängigkeit festzustel‐

len. Steht z. B. y für die Raumtemperatur und x für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit „die Raumtemperatur eine Funk‐

tion der Zeit ist“ bzw. stellvertretend „y eine Funktion von x ist.“

Statt Definitionsmenge A wird auch Definitionsbereich, Domain, Urbildmenge oder schlicht Urbild gesagt. Insbesondere im Falle partieller Funktionen wird zusätzlich von der Quellmenge gesprochen, diese heißt auch Quelle oder Source. Die Elemente von A heißen Funktionsargumente oder Urbilder, salopp auch x‐Werte. Die Zielmenge B wird auch Wertemenge, Wertebereich, Codomain, Destination oder Target genannt, die Elemente von B heißen Zielwerte oder Zielelemente, salopp auch y‐Werte.

Funktionswerte, Bildelemente oder schlicht Bilder heißen dagegen nur diejenigen Elemente von B, die tatsächlich als Bild eines Arguments auftreten, die Menge der Funktionswerte heißt Bildmenge, Bild, Image oder Range von f.

Wertemenge/‐bereich wird manchmal etwas uneinheitlich auch als Synonym zu Bildmenge benutzt.

≅ ⟶

(4)

4 Für die verschiedenen Mengen sind diverse Operatoren‐Schreibweisen in Gebrauch, also Kurz‐

schreibweisen, die einer Funktion f ihre verschiedenen Mengen zuordnen. Hier die gängigsten Bei‐

spiele:

Definitionsbereich Def

f

, Def(f), Dom

f

, dom(f), D

f

, D(f), Ur

f

, Ur(f) Quellmenge Quelle

f

, Quelle(f), Q

f

, Q(f), Src

f

, Src(f)

Bildmenge f(A), Bild

_f

, Bild(f),B

_f

, B(f), Im

_f

, Im(f), I

_f

, I(f), Ran

_f

, ran(f),R

_f

, R(f) Wertebereich Werte

_f

, Werte(f),W

_f

, W(f), Ziel

_f

, Ziel(f), Cod

_f

, Cod(f), Dst

_f

, Dst(f)

Insbesondere wird für jede Untermenge C ⊂ Bild

_f

von Bild

_f

mit f

⁻¹

(C) das Urbild von C bezüglich der Funktion f bezeichnet. Es gilt dann Def

_f

= f

^‐1

(Bild

_f

). Dieses f

⁻¹

(C) ist nicht zu verwechseln mit dem Bild der Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion, es ist nur eine Schreibweise für das Urbild; im Falle, dass f bijektiv ist, stimmen aber das so beschriebene Urbild von C bezüglich f und das Bild von C unter der Umkehrfunktion f

⁻¹

überein.

4.2.6. Indizierung und Auswahlfunktion

Sind x

₁

, ... , x

_n

beliebige Mengen, so kann man das n‐Tupel x = (x

₁

, ... , x

_n

) mit x

₁

∈ X

₁

, ... , x

_n

∈ X

_n

als Abbildung x: {1, ... ,n} ⟶X

₁

∪ ...∪ X

_n

, i ⟼ x

_i

∈ X

_i

,

auffassen. Man nennt x Auswahlfunktion.

Für n‐Tupel sind andere Definition oftmals geläufiger, jedoch soll diese Definition helfen, den Begriff der Auswahlfunktion zu erweitern:

Man nennt eine Abbildung f:I⟶X,i↦x

_i

,

auch eine Familie von Elementen aus X mit der Indexmenge I und schreibt sie (x

_i

)

i∈I

mit x

_i

∈ X für alle i ∈ I.

Auch bei Matrizen gibt es eine Auswahlfunktion, dies wollen wir anhand eines Beispiels erläutern:

Sei die Matrix

 

 



 4 6

5

4 gegeben. Nun ist eine Auswahlfunktion x gegeben durch x: {1,2} {1,2} ⟶ , (i,j)↦ x

_ij

,

wobei x

_ij

das Element der Matrix bezeichnet, das in der i‐ten Zeile in der j‐ten Spalte steht. Hier zum Beispiel der Wert 6 in Zeile 2, Spalte 1:

(2,1) ↦ 6.

Falls die Indexmenge I überabzählbar ist, so ist die Existenz einer Auswahlfunktion x nicht selbstver‐

ständlich. Zur Sicherstellung dieser Existenz muss das Auswahlaxiom herangezogen werden.

4.3. Darstellung von Funktionen

Eine Funktion f: U ⟶ , U⊆ kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimen‐

sionales) Koordinatensystem zeichnet. Der Funktionsgraph einer Funktion f kann mathematisch defi‐

niert werden als die Menge aller Elementepaare (x | y), für die y = f(x). Der Graph einer stetigen Funktion auf einem zusammenhängenden Intervall z. B. bildet eine zusammenhängende Kurve (ge‐

nauer: die Menge der Punkte der Kurve, aufgefasst als Unterraum des topologischen Raumes

²

ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen f: U ⟶

²

, U⊆ , und g: U ⟶ , U⊆

²

, visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist f stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem „schlängelt“. Ist g stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer „Gebirgslandschaft“.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogram‐

me gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Pro‐

grammierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen

Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar.

(5)

5 4.4. Wichtige Begriffe

Das Bild eines Elements a der Definitionsmenge ist einfach f(a).

 Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge A, also f(A) := {f(a)|a ∈ A}. Das Bild ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge.

 Das Urbild eines Elements b der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbe‐

reichs, deren Bild b ist. Man schreibt f

^‐1

(b) := { a ∈ A | f(a) =b}.

 Das Urbild einer Teilmenge T der Zielmenge ist die Menge aller Elemente des Definitionsbe‐

reichs, deren Bild Element dieser Teilmenge ist: f

^‐1

(T) := { a ∈ A | f(a) ∈ T}.

 Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion weist jedem Element der Zielmenge das Ur‐

bildelement zu (siehe unten).

 Als Verkettung oder Komposition zweier Funktionen f,g definiert man die Funktion, die durch Hintereinanderausführung (g ∘ f)(a) := g(f(a) für alle Elemente a des Definitionsbereichs ge‐

geben ist.

 Mit B

^A

oder

^A

B wird die Menge aller Abbildungen von A nach B bezeichnet: B

^A

:= {f | f: A → B}.

 Die Einschränkung einer Funktion f: A → B auf eine Teilmenge C des Definitionsbereichs A ist die Funktion f|

_C

: C → B, die (je nach Definition) gegeben ist durch

f|

_C

:= f ∩ (C B) = {(a,b) ∈ f | a ∈ C} bzw. G

_f|C

:= G

_f

∩ (C B) = {(a,b) ∈ G

_f

| a ∈ C}.

 Ein Fixpunkt ist ein Element a des Definitionsbereichs von f, für das f(a) = a gilt.

4.5. Eigenschaften von Funktionen

 Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element des Wertebereichs höchstens ein Urbild hat.

D. h. aus f(x

₁

) = y = f(x

₂

) folgt x

₁

= x

₂

.

 Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D. h. zu belie‐

bigem y gibt es ein x, so dass f(x) = y.

 Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, also wenn jedes Element der Zielmenge ge‐

nau ein Urbild hat.

 Sie ist idempotent, wenn f ∘ f = f ist, d. h. f(f(x)) = f(x) für alle Elemente x des Definitionsbe‐

reichs gilt.

 Sie ist eine Involution, wenn f ∘ f = id ist, also f(f(x)) = x für alle Elemente x des Definitionsbe‐

reichs gilt.

(siehe auch die ergänzenden Ausführungen im Skript „Abbildungseigenschaften“)

4.6. Funktionen, die Strukturen beachten

Funktionen, die auf Zusammenhänge wie z. B. Operationen (Addition, etc.) in der Definitions‐ und der Zielmenge „Rücksicht nehmen“, werden Morphismen genannt. Siehe Homomorphismus, Kategorien‐

theorie.

4.6.1. Strukturen erzeugende Abbildungen

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazu gehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bil‐

den die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengen‐

lehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch‐philosophische Fragestellungen hinausgehen.

4.6.2. Algebraische Strukturen

Mengen können durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form f: A A→ A.

Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Mul‐

tiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild ∗ (x,y) eines Paares (x,y) unter einer

Verknüpfung ∗ üblicherweise in der Form x ∗ y geschrieben.

(6)

6 Ist auf der Menge B eine innere zweistellige Verknüpfung ∗ gegeben, so lässt sich auch auf B

^A

eine innere zweistellige Verknüpfung von Abbildungen f,g ∈ B

^A