• Keine Ergebnisse gefunden

b a = = = u u 2 uvc 2 2 − + v v 2 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Aktie "b a = = = u u 2 uvc 2 2 − + v v 2 2"

Copied!
3
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Hans Walser, [20191103]

P y t h a g o r e i s c h e D r e i e c k e 1 Worum geht es?

Geometrischer Zugang zu den pythagoreischen Dreiecken.

2 Klassisch

Der klassische Zugang zu den primitiven (Seiten teilerfremd) pythagoreischen Drei- ecken geht rechnerisch. Wir wählen die beiden Parameter u und v mit folgenden Bedin- gungen: u > v, u, v teilerfremd und u – v ungerade. Dann sind

a =u2v2 b =2uv c =u2+v2

(1)

die Seiten eines primitiven pythagoreischen Dreieckes. Umgekehrt lässt sich jedes pri- mitive pythagoreische Dreieck auf diese Weise parametrisieren.

3 Geometrischer Zugang

Wir zeichnen ein Rechteck mit den Seitenlängen u und v (Abb. 1). In diesem Rechteck zeichnen wir eine Diagonale und deren Mittelsenkreche. Die Mittelsenkrechte schnei- den wir mit der langen Rechteckseite.

Abb. 1: Rechteck und M ittelsenkrechte der Diagonale

Der Schnittpunkt bildet zusammen mit zwei Rechteckecken das gesucht pythagoreische Dreieck (Abb. 2).

u v

(2)

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke 2 / 3

Abb. 2: Pythagoreisches Dreieck

4 Beweis

4.1 Von den Parametern zum Dreieck

Wir arbeiten im kartesischen Koordinatensystem der Abbildung 3 und berechnen die Streckenlänge d.

Abb. 3: Koordinatensystem

Abb. 4: Ähnlichkeit Auf Grund der Ähnlichkeit (Abb. 4) erhalten wir:

u v

a b c

u v

a d

b c

x y

d u v

a b c

x y

(3)

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke 3 / 3

d= v2 vu = v2u2 (2)

Daraus ergibt sich:

a=u2d= u2v2u2 = u22u−v2 (3)

Weiter ist:

b=v= 2uv2u

c= a2+b2 = 2u1

(

u2v2

)

2+4u2v2 = u22u+v2 (4)

Aus (3) und (4) ergibt sich die Kompatibilität mit (1).

4.2 Umkehrung: vom Dreieck zu den Parametern

Mit einem gegebenen pythagoreischen Dreieck und drei Kopien (zwei davon spiegel- bildlich) bilden wir das Rechteck gemäß Abbildung 5. Das Rechteck hat ein rechtecki- ges Loch. (Das Lochrechteck ist ähnlich zum gesamten Rechteck.)

Abb. 5: Rechteck aus vier Dreiecken

Die Seitenlängen sind ganzzahlig. Gekürzt ergeben sie u und v. Die Abbildung 5 gehört zum Beispiel u = 2 und v = 1 (so genanntes „Lehrerdreieck“).

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

[r]

• In order to determine a solution of (1) over a complete lattice with infinite ascending chains, we define a suitable widening and then solve (3) :-). • Caveat: The construction

[r]

[r]

Für p = –2 ergibt sich die Astroide (glaube ich)... 1: Variation

Die zu den Tripeln gehörenden Dreiecke nähern sich eben- falls einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an.. Die beiden Kathetenlängen un- terscheiden sich immer nur

Der Umkreisradius ist die halbe Summe der beiden Sei- tenlängen (gilt in jedem Rechteck), in unserem Fall 2 + 1.. Das Produkt der beiden Radien ist 1, sie sind

Dass die vier Teile flächenmäßig gleich groß sind, kann so eingesehen werden: Der in- nere Kreis hat den halben Durchmesser wie der große Kreis. Hat eine Figur die gleiche Form