Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Relationen und Funktionen

(1)

Relation Äquivalenzrelation Funktion

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Relationen und Funktionen

Dozentin: Wiebke Petersen

2. Foliensatz

(2)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

Mengen sind ungeordnet, häufig werden jedoch geordnete Listen benötigt:

n-Tupel

Einn-Tupel ist eine Liste mitn≥1 Elementen. Im Gegensatz zu Mengen ist die Reihenfolge festgelegt und jedes Element kann beliebig oft vorkommen.

Beispiel:h2,3,1i,hb,e,e,s,i,i,p,li

2-Tupel werden auch(geordnete) Paaregenannt.

Cartesisches Produkt

DasCartesische Produkt(oder Kreuzprodukt) von n MengenM1. . .Mnist die Menge aller n-Tupel deren i-tes Element ausMi stammt.

M1×. . .×Mn:={hx1, . . . ,xni|xi ∈Mi füri = 1, . . . ,n}

StattM×M×. . .×Mschreibt man auchMⁿ, wennM genaun-mal auftritt. Beispiel

M1={a,b,c},M2={a,d}

M1×M2={ha,ai,ha,di,hb,ai,hb,di,hc,ai,hc,di} M1× ∅=∅

(3)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

StattM×M×. . .×Mschreibt man auchMⁿ, wennM genaun-mal auftritt.

Beispiel

M1={a,b,c},M2={a,d}

M1×M2={ha,ai,ha,di,hb,ai,hb,di,hc,ai,hc,di} M1× ∅=∅

(4)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

Beispiel

∅

(5)

n-Tupel und Cartesisches Produkt

n-Tupel

Beispiel

M1={a,b,c},M2={a,d}

M ×M ={ha,ai,ha,di,hb,ai,hb,di,hc,ai,hc,di}

(6)

Relationen

Definition

Eine Teilmenge des Cartesischen Produktes von n Mengen R⊆M1× · · · ×Mn

heißtn-stellige Relation.

Eine Relation R ist also eine Menge von n-Tupeln.

Hinweis: Relationen werdenextensionaldefiniert. Es ist unerheblich, wie die Relation charakterisiert (oder benannt) wird. Wichtig ist allein, welche Objekte zueinander in der Relation stehen.

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet. Beispiele

Schwester von Mutter von

weibliches Elternteil von bilden ein Quartet Teilmenge von

(7)

Relationen

Definition

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet.

Beispiele

weibliches Elternteil von bilden ein Quartet Teilmenge von

(8)

Relationen

Definition

Für Relationen werden häufig die BuchstabenR,S,T verwendet.

Beispiele

(9)

binäre Relationen

binäre Relationen sind Mengen geordneter Paare wennain der RelationR zub steht, dann schreibt man

ha,bi ∈R oder aRb oder R(a,b) oder Rab

WennR⊆A×B, dann sagt man, dassR eine Relation zwischenAundBist.

WennR⊆A×A, dann sagt man, dassR eine Relation aufAist.

(10)

Frage

Denken Sie sich möglichst viele binäre Relationen aus.

1 Minute zum Nachdenken und

Diskutieren

(11)

inverse und komplementäre Relation

inverse Relation

Die inverse Relation zu einer binären Relation R ⊆ A × B ist die Relation

R

⁻¹

= {hb, ai ∈ B × A|ha, b i ∈ R}.

komplementäre Relation

Die komplementäre Relation zu einer binären Relation R ⊆ A × B zwischen A und B ist die Relation

R

⁰

= A × B \ R.

(12)

Beispiel: Verwandtschaftsterme

Beispielfamilie

Outline Functional Concepts Frames Conclusion

Interpretation of Relational Concepts

example

example family Ann ⊗ Tom

Sue Bob ⊗ Liz

Tim Pam Max

‘mother’ denotational δ(mother) = { Ann, Liz }

‘mother’ relational (‘mother of’) Sue y Ann

Bob y Ann Tim y Liz Pam y Liz Max y Liz

‚hat als Sohn‘

Ann R

_son

Bob

Tom R

_son

Bob

Bob R

son

Max

Bob R

_son

Tim

Liz R

_son

Max

Liz R

son

Tim

(13)

Beispiel: Verwandtschaftsterme

Beispielfamilie

Outline Functional Concepts Frames Conclusion

Interpretation of Relational Concepts

example

example family Ann ⊗ Tom

Sue Bob ⊗ Liz

Tim Pam Max

‘mother’ denotational δ(mother) = { Ann, Liz }

‘mother’ relational (‘mother of’) Sue y Ann

Bob y Ann Tim y Liz Pam y Liz Max y Liz

‚hat als Mutter‘

Sue R

_mother

Ann

Bob R

mother

Ann

Tim R

_mother

Liz

Pam R

_mother

Liz

Max R

mother

Liz

(14)

Frage

Können Sie die komplementären und die inversen Relationen Ihrer Beispielrelationen benennen?

1 Minute zum Nachdenken und

Diskutieren

(15)

Eigenschaften binärer Relationen

SeiR⊆A×Aeine binäre Relation aufA.

R istreflexivg.d.w. für allea∈Agilt, dassaRa.

Ristirreflexivg.d.w. für keina∈Agilt, dassaRa

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚hat am selben Tag Geburtstag‘ auf der Menge der Menschen ist reflexiv.

Die Relation ‚ist Mutter von‘ auf der Menge der Menschen ist irreflexiv. Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv.

Welche Bedingungen erfüllen die Beispielrelationen an der Tafel?

(16)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(17)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(18)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚ist Mutter von‘ auf der Menge der Menschen ist irreflexiv.

Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv.

(19)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der Menge der Menschen ist weder reflexiv noch irreflexiv.

(20)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚kann die Quersumme des Geburtstags von berechnen‘ auf der

(21)

Eigenschaften binärer Relationen

R istsymmetrischg.d.w. für allea,b∈A mitaRbauchbRagilt.

Ristasymmetrischg.d.w. füra,b∈A niemals sowohlaRbals auchbRagilt.

Ristantisymmetrischg.d.w. für alle a,b∈AausaRbundbRafolgt, dass a=b.

Die Relation ‚ist verheiratet mit‘ ist symmetrisch. Die Relation ‚ist größer als‘ ist asymmetrisch. Die Relation ‚ist Teilmenge von ‘ ist antisymmetrisch.

(22)

Eigenschaften binärer Relationen

(23)

Eigenschaften binärer Relationen

(24)

Eigenschaften binärer Relationen

Die Relation ‚ist verheiratet mit‘ ist symmetrisch.

Die Relation ‚ist größer als‘ ist asymmetrisch. Die Relation ‚ist Teilmenge von ‘ ist antisymmetrisch.

(25)

Eigenschaften binärer Relationen

Die Relation ‚ist größer als‘ ist asymmetrisch.

Die Relation ‚ist Teilmenge von ‘ ist antisymmetrisch.

(26)

Eigenschaften binärer Relationen

(27)

Eigenschaften binärer Relationen

Die Relation ‚ist größer als‘ ist asymmetrisch.

Die Relation ‚ist Teilmenge von ‘ ist antisymmetrisch.

(28)

Eigenschaften binärer Relationen

R isttransitivg.d.w. für allea,b,c∈A ausaRbundbRc immeraRcfolgt.

Ristintransitivg.d.w. für allea,b,c∈A mitaRbundbRc niemalsaRcgilt.

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚ist Vorfahr von‘ ist transitiv.

Die Relation ‚steht genau eine Treppenstufe höher als‘ ist intransitiv. Die Relation ‚kennt‘ ist weder transitiv noch intransitiv.

(29)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(30)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(31)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

Die Relation ‚steht genau eine Treppenstufe höher als‘ ist intransitiv.

Die Relation ‚kennt‘ ist weder transitiv noch intransitiv.

(32)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(33)

Eigenschaften binärer Relationen

a b

a

a b c

a b

a

(34)

Definitions- und Wertebereich einer Relation

Wenn R ⊆ A × B eine binäre Relation ist, dann heißt

dom(R) = {a ∈ A | es gibt ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R}

der Definitionsbereich (domain) von R.

Die Menge

rng(R) = {b ∈ B | es gibt ein a ∈ A mit (a, b) ∈ R}

heißt der Wertebereich (range) von R.

Beispiel:

A = {a, b, c, d }, B = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(b, 1), (b, 2), (c , 3)}

dom(R) = {b, c }, rng(R) = {1, 2, 3}

(35)

Definitions- und Wertebereich einer Relation

Wenn R ⊆ A × B eine binäre Relation ist, dann heißt

dom(R) = {a ∈ A | es gibt ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R}

der Definitionsbereich (domain) von R.

Die Menge

rng(R) = {b ∈ B | es gibt ein a ∈ A mit (a, b) ∈ R}

heißt der Wertebereich (range) von R.

Beispiel:

A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, R = {(b, 1), (b, 2), (c , 3)}

(36)

Quiz-Time

(37)

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine RelationR⊆A×Aist eineÄquivalenzrelationaufA, g.d.w.R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

WennR eine Äquivalenzrelation ist undaRbgilt, dann sagt man, dassaäquivalent ist zubbezüglichR.

Für Äquivalenzrelationen verwendet man häufig das Symbol∼.

Beispiele: Gleichheit

ist im selben Semester wie hat gleich viele Elemente wie hat die selbe Farbe wie

Welche der Beispielrelationen an der Tafel sind Äquivalenzrelationen?

(38)

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine RelationR⊆A×Aist eineÄquivalenzrelationaufA, g.d.w.R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

WennR eine Äquivalenzrelation ist undaRbgilt, dann sagt man, dassaäquivalent ist zubbezüglichR.

Für Äquivalenzrelationen verwendet man häufig das Symbol∼.

Beispiele:

Gleichheit

ist im selben Semester wie hat gleich viele Elemente wie

(39)

Äquivalenzrelation

Äquivalenzklasse

SeiR eine Äquivalenzrelation aufA. Die Äquivalenzklasseeines Elementsa∈Aist die Menge aller zuaäquivalenten Elemente vonA, also

[a]R={b∈A|aRb}.

Die Menge

A/R={[a]R|a∈A}

aller Äquivalenzklassen von Elementen ausA bezüglichR heißtQuotientvonAbezüglichR. Hinweis: Äquivalenzklassen können per Definition nicht leer sein.

(40)

Äquivalenzrelation

SeiReine Äquivalenzrelation aufA. Dann gilt:

Zwei Äquivalenzklassen vonR sind entweder disjunkt oder identisch:

für allea,b∈Agilt entweder [a]_R∩[b]_R =∅ oder [a]_R = [b]_R. Die Äquivalenzklassen vonR decken ganzAab:SA/R=A.

Eine MengeP⊆ POT(A) ist einePartition (oder disjunkte Zerlegung) vonA, g.d.w.

SP=Aund für alleX,Y ∈P mitX 6=Y giltX∩Y =∅.

(41)

Quiz-Time

(42)

Funktionen

Definition

Eine Relation R⊆D×W ist eineFunktion(oderAbbildung), wenn siejedem Element aus Dgenau einElement aus W zuordnet.

Funktionen müssen also die Bedigungen der Existenz und Eindeutigkeit erfüllen:

Existenz: Fürjedesx ∈D gibt es ein y∈W mithx,yi ∈R.

Eindeutigkeit: Wennhx,yi ∈R und hx,zi ∈R, dann y=z.

Eine Relation, für die die Eindeutigkeitsbedingung (aber nicht unbedingt die Existenzbedingung) gilt, heißtpartielle Funktion.

(43)

Funktionen

Definition

(44)

Funktionen

Definition

(45)

Funktionen

Definition

Eine Relation, für die die Eindeutigkeitsbedingung (aber nicht unbedingt die

(46)

Notation und Terminologie

Für Funktionen verwendet man häufig die Buchstabenf,g,h,F,G,H.

Wennf ⊆A×B eine Funktion ist, dann sagt man, dassf eine Funktion von AnachB ist, und schreibtf :A→B.Awird dann derDefinitionsbereich undBderWertebereichvonf genannt.

Wennha,bi ∈f, dann sagt man, dass die Funktionf dem Elementaden Wertbzuweist, und schreibtf(a) =boderf :a7→b.

Elemente des Definitionsbereiches heißenArgumenteund Elemente des Wertebereiches heißenWerteeiner Funktion.

WennC⊂Aundf :A→B, dann bezeichnetf|C:C→Bdie Einschränkungder Funktionf aufC. Für allec ∈Cgiltf|C(c) =f(c).

Im Kontext von partiellen Funktionen werden Funktionen, die die

(47)

Beispiele

Sei A = {a, b, c , d } B = {1, 2, 3, 4, 5}

Die Relation R ⊆ A × B mit R = {(b, 1), (b, 2), (c , 3)} ist keine partielle Funktion.

Die Relation R ⊆ A × B mit R = {(b, 1), (c, 3), (d , 1)} ist eine partielle aber keine totale Funktion.

Die Relation R ⊆ A × B mit R = {(a, 2), (b, 1), (c , 3), (d , 1)} ist

eine totale und folglich auch eine partielle Funktion.

(48)

Funktionseigenschaften

Seif :D→W eine Funktion.

f istinjektiv(Engl.: one-to-one), wenn keine zwei verschiedenen Elemente des Definitionsbereiches

denselben Wert zugewiesen bekommen. Wenn also für alle x,y ∈Dgilt:

f(x) =f(y) g.d.w.x =y.

f istsurjektiv(Engl.: onto), wenn jedes Element vonW mindestens einem Element vonD als Wert zugewiesen wird. Wenn es also für jedesy∈W einx ∈Dgibt, für dasf(x) =y gilt.

f istbijektiv, wennf injektiv undsurjektivist. Merke: Eine Funktionf ist bijektiv, g.d.w.f⁻¹eine Funktion ist.

(49)

Funktionseigenschaften

f istbijektiv, wennf injektiv undsurjektivist. Merke: Eine Funktionf ist bijektiv, g.d.w.f⁻¹eine Funktion ist.

(50)

Funktionseigenschaften

(51)

Komposition von Funktionen

Seienf :A→B undg:B→C zwei Funktionen. Die Funktiong◦f :A→C mit g◦f ={(x,z)∈A×C| es gibt einy ∈Bmit (x,y)∈f und (y,z)∈g}ist die Komposition(oderVerkettung) vonf undg.

Es gilt (g◦f)(x) =g(f(x)). Die Funktiong◦f weist einem Elementx ∈Adas Element ausC zu, das man erhält, wenn man zunächstf aufx anwendet und auf das Ergebnis nochg anwendet.

a

b c

A

r s t 1

2 3 4

f g

B C

a

b c

r s

g f

(52)

Identitätsfunktion

Die Funktion id

_A

: A → A mit f = {(a, a) ∈ A × A} (oder f (a) = a für alle a ∈ A) heißt die Identität(sfunktion) auf A.

a b

c

A

id _A

a b

c

A

(53)

mehrstellige Funktionen

Der Definitionsbereich einer Funktion kann selbst eine Relation sein.

Eine Funktion A

₁

× A

₂

× . . . × A

_n

→ B heißt n-stellige Funktion.

Beispiel: Die Addition der natürlichen Zahlen + : N

⁰

× N

⁰

→ N

⁰

kann als zweistellige Funktion aufgefasst werden.

Zweistellige Operationen bilden zweistellige Funktionen (Bsp.:

Schnitt, Vereinigung, . . . ).

n-stellige Funktionen sind n + 1-stellige Relationen (Bsp: Mutter)

(54)

Charakteristische Funktion einer Teilmenge

Eine Teilmenge N ⊆ M lässt sich mithilfe ihrer charakteristischen Funktion beschreiben.

Die charakteristische Funktion einer Teilmenge N ⊆ M ist die Funktion χ : M → {0, 1}, für die gilt: χ(x) = 1 genau dann, wenn x ∈ N.

Für die charakteristische Funktion von N ⊆ M schreibt man häufig auch χ

_N

.

Es gilt:

χ

_N

: M → {0, 1}; χ

_N

(x) =

(

1 wennx ∈ N

0 sonst

(55)

Mengen von Funktionen

Mit M

^N

bezeichnet man die Menge aller Funktionen von N nach M . Also:

M

^N

= {f : N → M | f ist eine Funktion}

(56)

Charakteristische Funktion und Potenzmenge

Wir haben gesehen, dass man für die Potenzmenge einer MengeM auch 2^M schreiben kann. Warum?

In 2^M steht 2 für die 2-elementige Menge{0,1}.

Die Potenzmenge einer MengeMlässt sich als Menge aller charakteristischen Funktionen ihrer Teilmengen auffassen:

POT(M) = 2^M={f :M→ {0,1} |f ist eine Funktion} 1 2 3 . . . n

0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0

..

. ...

0 0 0 . . . 1 1 1 0 . . . 0 1 0 1 . . . 0

..

. ...

1 1 1 . . . 1

(57)

Charakteristische Funktion und Potenzmenge

Wir haben gesehen, dass man für die Potenzmenge einer MengeM auch 2^M schreiben kann. Warum?

In 2^M steht 2 für die 2-elementige Menge{0,1}.

Die Potenzmenge einer MengeMlässt sich als Menge aller charakteristischen Funktionen ihrer Teilmengen auffassen:

POT(M) = 2^M={f :M→ {0,1} |f ist eine Funktion}

1 2 3 . . . n 0 0 0 . . . 0 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0

..

. ...

0 0 0 . . . 1 1 1 0 . . . 0 1 0 1 . . . 0

..

. ...

(58)