Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Ordnungsrelationen

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Ordnungsrelationen

Dozentin: Wiebke Petersen

4. Foliensatz

Ordnungen Verbände

starke / schwache Ordnungen

EineOrdnungR einer MengeAist eine binäre RelationR_⊆A_×A.

Man unterscheidet zwischenstarkenundschwachenOrdnungen:

Eine binäre Relation ist eine schwache Ordnung, gdw. sie transitiv,

reflexiv und anti-symmetrisch ist.

Eine binäre Relation ist eine starke Ordnung, gdw. sie transitiv,

irreflexiv und asymmetrisch

korrespondierende Ordnungen

Eine schwache OrdnungR_⊆A_×Aund eine starke OrdnungS korrespondieren zueinander gdw.

R₌S_∪id_A

Beispiele: SeiA={a,b,c,d}

R₁₌{〈a,b_〉,〈a,c_〉,〈a,d_〉,〈b,c_〉,〈a,a_〉,〈b,b_〉,〈c,c_〉,〈d,d_〉} R₂={〈b,a〉,〈c,b〉,〈c,a〉,〈b,b〉,〈a,a〉,〈c,c〉,〈d,d〉}

R₃₌{〈d,c_〉,〈d,b_〉,〈d,a_〉,〈c,b_〉,〈c,a_〉,〈b,a_〉,〈a,a_〉,〈b,b_〉,〈c,c_〉,〈d,d_〉} korrespondierende starke Ordnungen:

S₁={〈a,b〉,〈a,c〉,〈a,d〉,〈b,c〉}

S₂₌{〈b,a_〉,〈c,b_〉,〈c,a_〉}

S₃={〈d,c〉,〈d,b〉,〈d,a〉,〈c,b〉,〈c,a〉,〈b,a〉}

Ordnungen Verbände

geordnete Mengen

Einegeordnete Mengeist ein Paar (M,R), bestehend aus einer MengeM und einer OrdnungR vonM.

Beispiele:

(_{P OT}(M),⊆) ist eine schwach geordnete Menge.

(P OT(M),⊂) ist die korrespondierende stark geordnete Menge.

(_N,≤) ist eine schwach geordnete Menge.

(N,<) ist die korrespondierende stark geordnete Menge.

Terminologie

Sei (M,R) eine (stark oder schwach) geordnete Menge.

aist einVorgängervonbgdw.R(a,b).

aist einNachfolgervonbgdw.R(b,a).

aist einunmittelbarer Vorgänger(oderunterer Nachbar) vonbgdw.

a₆₌b, R(a,b), und

es gibt kein c_∈M mitc_6∈{a,b}so dassR(a,c) undR(c,b).

aist einunmittelbarer Nachfolger(oderoberer Nachbar) vonbgdw.bein unmittelbarer Vorgänger vonaist.

Wennaein unmittelbarer Vorgänger vonbist, dann schreibt man häufiga≺b.

Ordnungen Verbände

Hassediagramm

Konstruktion

Eine endliche geordnete Mengen (M,R) kann durch einHassediagramm veranschaulicht werden; dieses erhält man, indem man für jedes Element vonM einen Punkt zeichnet und zwar so, daßaunterhalb vonb liegt, wenna6=b und (a,b)_∈R.

Zwei Punkteaundbwerden mit einer Linie verbunden, wenna≺b.

Übung: Zeichnen sie die folgenden Hasse-Diagramme Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R₂) mit

R_2={〈b,a_〉,〈c,b_〉,〈c,a_〉,〈b,b_〉,〈a,a_〉,〈c,c_〉} Hasse-Diagramm von (_{P OT}({1,2,3}),⊆)

Ordnungen Verbände

Beispiele

Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R₂) mit

R₂={〈b,a〉,〈c,b〉,〈c,a〉,〈b,b〉,〈a,a〉,〈c,c〉} Hasse-Diagramm von (_{P OT}({1,2,3}),⊆)

a

b

c

{1,2}

{1}

{1,3}

{2}

{ }

{2,3}

{3}

Ordnungen Verbände

Beispiele

Hasse-Diagramm von ({a,b,c},R₂) mit

R₂={〈b,a〉,〈c,b〉,〈c,a〉,〈b,b〉,〈a,a〉,〈c,c〉} Hasse-Diagramm von (_{P OT}({1,2,3}),⊆)

a

b

c

{1,2,3}

{1,2}

{1}

{1,3}

{2}

{2,3}

{3}

Hasse-Diagramme: Beispiel Teilbarkeit

SeiM₌{x_∈N|60 ist durchx ohne Rest teilbar}, und R={〈x,y〉 ∈M×M|y ist durchx ohne Rest teilbar}.

Hassediagramm der geordneten Menge (M,R):

Ordnungen Verbände

Hasse-Diagramme: Beispiel Teilbarkeit

SeiM₌{x_∈N|60 ist durchx ohne Rest teilbar}, und R={〈x,y〉 ∈M×M|y ist durchx ohne Rest teilbar}.

Hassediagramm der geordneten Menge (M,R):

Übung

Zeichnen sie ein Hasse-Diagramm zur geordneten Menge M=({{1,2,3,4,5}, {1,2,3,5}, {1,3,4}, {2,4,5}, {1,2,3}, {1,3}, {2,4}, {1,5}, {1}, {3}, {4}, {5}, {}},⊆).

Ordnungen Verbände

totale/partielle Ordnung

Eine binäre Ordnungsrelation ist einetotaleOrdnung, gdw. siekonnexist.

Eine binäre RelationR⊆M×Mistkonnex(bzw. linear) gdw. für allex,y∈M mitx₆₌y gilt: _〈x,y_{〉 ∈}R oder_〈y,x_{〉 ∈}R.

Das Hassediagramm einer total geordneten, endlichen Menge bildet eine Linie. Kein Element hat mehr als einen oberen oder unteren Nachbarn.

Totale Ordnungen werden auchlineareOrdnungen genannt.

In Abgrenzung zu totalen Ordnungen werden allgemeine Ordnungen auch partielleOrdnungen (oderHalbordnungen) genannt. Im Englischen spricht man von ‘poset’ (partially ordered set).

minimale und maximale Elemente

SeiR_⊆A_×Aeine Ordnung (stark oder schwach).

Ein Elementx_∈Aistminimalgdw. es keiny₆₌x gibt, das Vorgänger vonx ist.

Ein Elementx_∈Aistmaximalgdw. es keiny₆₌x gibt, das Nachfolger vonx ist.

x_∈Aist dasMinimumvonA, wennx Vorgänger jedes anderen Elements von Aist (für alley∈Amitx6=y giltx≺y).

x_∈Aist dasMaximumvonA, wennx Nachfolger jedes anderen Elements vonAist (für alley_∈Amitx₆₌y gilty_≺x).

Hinweise:

eine total geordnete Menge kann höchstens ein minimales und höchstens ein maximales Element haben.

eine partiell geordnete Menge kann beliebig viele minimale und maximale Elemente aber höchstens ein Minimum und höchstens ein Maximum haben.

Ordnungen Verbände

Beispiel

aist das einzige maximale Element und somit das Maximum der geordneten Menge.

d undesind die minimalen Elemente der geordneten Menge. die geordnete Menge hat kein Minimum,

Beispiel

aist das einzige maximale Element und somit das Maximum der geordneten Menge.

d undesind die minimalen Elemente der geordneten Menge.

die geordnete Menge hat kein Minimum,

Ordnungen Verbände

Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Sei (M,R) eine geordnete Menge und seienaundbElemente vonM. aundb heißenvergleichbar, fallsaRboderbRa; sonstunvergleichbar. Eine TeilmengeK vonM heißtKette, g.d.w. für beliebigea,b∈K gilt, daß sie vergleichbar sind. Eine TeilmengeAvonMheißtAntikette, g.d.w. für beliebigea,b_∈Agilt, daß sie unvergleichbar sind.

Satz von Dilworth

Für eine geordnete endliche Menge (M,R) gilt: Die maximale Anzahl von

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonM benötigt.

Höhe / Breite

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Kette von (M,R).

DieBreiteeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Antikette von (M,R).

Ordnungen Verbände

Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Sei (M,R) eine geordnete Menge und seienaundbElemente vonM. aundb heißenvergleichbar, fallsaRboderbRa; sonstunvergleichbar. Eine TeilmengeK vonM heißtKette, g.d.w. für beliebigea,b∈K gilt, daß sie vergleichbar sind. Eine TeilmengeAvonMheißtAntikette, g.d.w. für beliebigea,b_∈Agilt, daß sie unvergleichbar sind.

Satz von Dilworth

Für eine geordnete endliche Menge (M,R) gilt: Die maximale Anzahl von

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonM benötigt.

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Kette von (M,R).

DieBreiteeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen Anzahl von Elementen einer Antikette von (M,R).

Ordnungen Verbände

Vergleichbarkeit / Kette / Antikette

Sei (M,R) eine geordnete Menge und seienaundbElemente vonM. aundb heißenvergleichbar, fallsaRboderbRa; sonstunvergleichbar. Eine TeilmengeK vonM heißtKette, g.d.w. für beliebigea,b∈K gilt, daß sie vergleichbar sind. Eine TeilmengeAvonMheißtAntikette, g.d.w. für beliebigea,b_∈Agilt, daß sie unvergleichbar sind.

Satz von Dilworth

Für eine geordnete endliche Menge (M,R) gilt: Die maximale Anzahl von

Elementen in einer Antikette von (M,R) ist gleich der kleinsten Anzahl von Ketten von (M,R), die man für eine Partition vonM benötigt.

Höhe / Breite

DieHöheeiner endlichen geordneten Menge (M,R) ist gleich der maximalen

Ordnungen Verbände

Beispiel

d undesind unvergleichbar.

{a,b,d}ist eine Kette der geordneten Menge. {b,c}ist Antikette der geordneten Menge.

Die geordnete Menge hat die Höhe 3 und die Breite 2.

Die Ketten{a,b,d}und{c,e}bilden eine minimale Partition in Ketten der geordneten Menge.

Ordnungen Verbände

Beispiel

Die Elementeaundbsind vergleichbar.

d undesind unvergleichbar.

{a,b,d}ist eine Kette der geordneten Menge.

{b,c}ist Antikette der geordneten Menge.

Intervall / Ideal / Filter

Sei (M

) eine geordnete Menge:

Intervall: [a

b] :

x

M

a x b

Hauptideal: (b] :

x

M

x b

Hauptfilter: [a) :

x

M

a x

Ordnungen Verbände

Beispiel

{1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4]₌{4,6,8}(Hauptideal von 4) [6)={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

Ordnungen Verbände

Beispiel

[6,1]={1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4]₌

[6)={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

Ordnungen Verbände

Beispiel

{1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

Beispiel

[6,1]={1,3,4,5,6}(Intervall von 6 bis 1) (4]₌{4,6,8}(Hauptideal von 4) [6)={1,2,3,4,5,6}(Hauptfilter von 6).

Ordnungen Verbände

Ordnungserhaltende/monotone Abbildungen

Definition

Seien (M,) und (M⁰,⁰) zwei geordnete Mengen. Eine Abbildung (Funktion) f:M→M⁰heißtordnungserhaltendodermonoton, wenn für allex,y∈M gilt:

wennxy, dannf(x)⁰f(y) Beispiele:

f:N0→N0mitf(x)=2x ist eine monotone Abbildung von (N0,≤) nach (_N0,≤).

f:N0→N0mitf(x)=x²ist eine monotone Abbildung von (N0,≤) nach (_N0,≤).

f:_Z→Zmitf(x)₌x²ist keine monotone Abbildung von (_Z,≤) nach (_Z,≤).

SeiM eine endliche Menge. f:P OT(M)→N mitf(A)= |A|ist eine

Ordnungseinbettung

Definition

Eine monotone Funktion heißtOrdnungseinbettung, wenn sie injektiv ist, und Ordnungsisomorphismus, wenn sie bijektiv ist.

Ein Ordnungsisomorphismus von (M,R) in sich selbst wird auch Ordnungsautomorphismusgenannt.

Beispiele:

f:_Z→Zmitf(x)_{= −}x ist ein Ordnungsisomorphismus von (_Z,≤) nach (_Z,≥).

f:R→Rmitf(x)=^x₂ ist ein Ordnungsautomorphismus auf (R,≤).

Ordnungen Verbände

Quasiordnung

Der Begriff der Quasiordnung ist schwächer als der der Ordnung:

Definition

Eine binäre RelationR_⊆M_×M ist eineQuasiordnung(oderPräordnung), wennR reflexiv und

transitiv ist.

Beispiel:

Die Ordnung_≤abs, die die ganzen Zahlen nach ihrem Betrag ordnet ist eine Quasiordnung aber keine Ordnung (beachte, dass₋3_≤abs3 und 3_≤abs−3 aber₋3₆₌3).

Zusammenfassung: Ordnungen

schwache Ordnungen

transitiv reflexiv anti- linear/total symmetrisch

Quasiordnung ? ?

partielle Ordnung ? ? ?

totale Ordnung ? ? ? ?

Bemerkung: (Schwache) lineare Ordnungsrelationen werden häufig mit≤, bzw.

partielle Ordnungsrelationen mit_⊆bezeichnet, auch wenn es sich bei der gegebenen Ordnung weder um eine numerische Größenordnung noch um die Mengeninklusion handelt.

Ordnungen Verbände

Zusammenfassung: Ordnungen

strikte Ordnungen

transitiv irreflexiv asymmetrisch linear/total

strikte partielle Ordnung _{? ? ?}

strikte totale Ordnung _{? ? ? ?}

Bemerkung: Strikte Ordnungsrelationen werden häufig mit<, bzw. mit⊂ bezeichnet.

Man könnte strikte Ordnungen äquivalent auch als transitive, irreflexive und antisymmetrische Relationen definieren, da eine Relation, die irreflexiv und antisymmetrisch ist, immer asymmetrisch ist.

obere / untere Schranke

Sei (M,≤) eine (partiell) geordnete Menge undK eine Teilmenge vonM. Ein Elementx vonM ist

eineobere SchrankevonK, g.d.w. für alley_∈K:y_≤x; eineuntere SchrankevonK, g.d.w. für alley∈K:x≤y.

Die Abbildungen zeigen die Hassediagramme zweier geordneter Mengen. Die rot markierten Elementen haben die blau markierten Elemente als obere und die grün markierten als untere Schranken.

Ordnungen Verbände

kleinste obere / größte untere Schranke

x heißtkleinste obere SchrankeoderSupremumvon KinM, wennx eine obere Schranke vonKist und für jede obere Schrankey_∈M vonK mitx₆₌y die Ungleichungx≤y gilt. Wir schreiben supK oder^WK für das Supremum vonK (lese_∨als ‘join’).

x heißtgrößte untere SchrankeoderInfimumvonKinM, wennx eine untere Schranke vonKist und für jede untere Schrankey_∈M vonK mitx₆₌y die Ungleichungy_≤x gilt. Wir schreiben infK oder^VK für das Infimum vonK (lese

∧als ‘meet’).

Wir schreibenx_∨y statt^W{x,y}undx_∧y statt^V{x,y}.

Die Beispiele der vorangegangenen Folie zeigen, daß es geordnete MengenM gibt, für die nicht jede TeilmengeK_⊆M ein Supremum oder Infimum hat.

Das Infimum ist also das Maximum aller unteren Schranken und das Supremum ist das Minimum aller oberen Schranken.

kleinste obere / größte untere Schranke

x heißtkleinste obere SchrankeoderSupremumvon KinM, wennx eine obere Schranke vonKist und für jede obere Schrankey_∈M vonK mitx₆₌y die Ungleichungx≤y gilt. Wir schreiben supK oder^WK für das Supremum vonK (lese_∨als ‘join’).

x heißtgrößte untere SchrankeoderInfimumvonKinM, wennx eine untere Schranke vonKist und für jede untere Schrankey_∈M vonK mitx₆₌y die Ungleichungy_≤x gilt. Wir schreiben infK oder^VK für das Infimum vonK (lese

∧als ‘meet’).

Wir schreibenx_∨y statt^W{x,y}undx_∧y statt^V{x,y}.

Die Beispiele der vorangegangenen Folie zeigen, daß es geordnete MengenM gibt, für die nicht jede TeilmengeK_⊆M ein Supremum oder Infimum hat.

Das Infimum ist also das Maximum aller unteren Schranken und das Supremum ist das Minimum aller oberen Schranken.

Ordnungen Verbände

Beispiele

Für die linear geordnete Menge (

) gilt: sup[1

4]

4 und inf[1

4]

1.

Für die partiell geordnete Menge (

(M)

) mit M

1

2

3

4

ist das Supremum von K

1

2

2

4

1

die Vereinigung aller Elemente von K , also sup K

1

2

4

.

Das Infimum von K ist der Durchschnitt aller Elemente von K ,

also inf K

.

Verbände

Verband: ordnungstheoretische Definition

Eine geordnete Menge (V

) ist ein Verband, g.d.w. zu je zwei Elementen x und y aus V auch das Supremum von x und y und das Infimum von x und y Elemente von V sind.

vollständiger Verband

Ein Verband (V

) ist ein vollständiger Verband, falls für alle K

V gilt, daß supK

V und inf K

V .

Jeder vollständige Verband hat ein größtes Element supV , das Einselement (1

) genannt, und ein kleinstes Element inf V , das Nullement (0

) genannt.

Die oberen Nachbarn des Nullelements nennt man die Atome und die

unteren Nachbarn des Einselements die Koatome des Verbands.

Ordnungen Verbände

Bemerkungen

Jeder endliche Verband ist vollständig.

Da inf

1

und sup

0

gilt, gibt es keinen vollständigen

Verband mit leerer Menge V .

Beispiele

(

(M)

) ist ein vollständiger Verband,

entspricht

und

∧

entspricht

.

([2

5]

) ist ein vollständiger Verband.

(

) ist ein Verband, aber nicht vollständig.

³©

{

1

2

2

4

1

ist kein Verband.