Aufgabe3ParalleleKomposition Aufgabe2Korrektheitsbeweis Abgabe:Mittwoch,1.12.2004 ¨Ubungsserie2 Aufgabe1EtwasMathematikalsHintergrund

Verifikation nebenl¨ aufiger Programme WS 2004/2005

Ulrich Hannemann Jan Bredereke

Ubungsserie 2 ¨

Abgabe: Mittwoch, 1.12.2004

Aufgabe 1 Etwas Mathematik als Hintergrund

Die Relation ”kleiner als” ≺ IN ⊆ IN × IN ist eine irreflexive, transitive Ordnung auf IN , sie ist total und wohlfundiert. Auf Basis dieser Relation definieren wir folgende Ordnungen:

(i) ≺ lex(k) ⊆ IN ^k × IN ^k : (n ₁ , . . . , n _k ) ≺ lex(k) (m ₁ , . . . , m _k ) ⇐⇒

∃1 ≤ i ≤ k.∀1 ≤ j < i.n j = m j ∧ n i ≺ IN m i

(ii) ≺ _lex(IN) ⊆ S

k∈IN\{0} IN ^k × S

k∈IN\{0} IN ^k

≺ _lex(IN) := S

k∈IN\{0} ≺ _lex(k) (iii) ≺ _lex ⊆ S

k∈IN\{0} IN ^k × S

k∈IN\{0} IN ^k :

(n 1 , . . . , n r ) ≺ lex (m 1 , . . . , m s ) ⇐⇒ ∃i ∈ IN \{0}.∀1 ≤ j < i.

(n j = m j ∧ n i ≺ IN m i ) ∨ (r ≺ IN s ∧ ∀1 ≤ j ≤ r.(n j = m j )) Beweist oder widerlegt die folgenden Behauptungen:

1. ≺ _lex(k) ⊆ IN ^k × IN ^k ist wohlfundiert.

2. ≺ _lex(IN) ⊆ S

k∈IN\{0} IN ^k × S

k∈IN\{0} IN ^k ist wohlfundiert.

3. ≺ lex ⊆ S

1≤k≤n IN ^k × S

1≤k≤n IN ^k ist wohlfundiert f¨ ur beliebiges n ∈ IN . 4. ≺ lex ⊆ S

k∈IN\{0} IN ^k × S

k∈IN\{0} IN ^k ist wohlfundiert

Aufgabe 2 Korrektheitsbeweis

Zeigt, daß das Verfahren, die Abwesenheit von Laufzeitfehlern nachzuweisen, korrekt ist.

Sei P = (L, T, s, t) ein Programm. Falls ϕ eine totale {tt, ff}-wertige boole’sche Funktion ist, ein Zusicherungsnetz aus Pr¨ adikaten Q l , die total und {tt, ff}- wertig sind, existiert, so daß f¨ ur jede Transition (l, c → f, l ⁰ ) ∈ T gilt

| = Q l ∧ c → (Q l

◦ f ) ∧ Def (f ), und ferner | = ϕ → Q s gilt, so ist P frei von Laufzeitfehlern.

Aufgabe 3 Parallele Komposition

Beweist: Die parallele Komposition von Transitionssystemen ist assoziativ und kommutativ, d.h., f¨ ur Transitionssysteme P 1 , P 2 , and P 3 gilt

• [[P ₁ k P ₂ ] k P ₃ ] ist ¨ aquivalent zu [P ₁ k [P ₂ k P ₃ ]],

• [P ₁ k P ₂ ] ist ¨ aquivalent zu [P ₂ k P ₁ ].