Gitter und Kryptographie Blatt 1, Mittwoch, 24.04.2019, Abgabe Freitag, 03.05.2019

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2019

Gitter und Kryptographie

Blatt 1, Mittwoch, 24.04.2019, Abgabe Freitag, 03.05.2019

Aufgabe 1. Sei A = A^t = [a_i,j] ∈ R^n×n mit regulären Teilmatrizen A_k= [a_i,j]1≤i,j≤k ∈R^k×k für k= 1, ..., n.

Zeige, dass es eine eindeutige Zerlegung A = R^tDR gibt mit einer oberen Dreiecksmatrix R = [r_i,j] ∈ R^n×n (also r_i,j = 0 für i > j) mit r_i,i > 0 und Diagonalmatrix D mit Diagonale (σ₁, . . . , σ_n)∈ {±1}ⁿ.

Aufgabe 2. Zeige für jede Basisb₁, ...,b_n ∈Z^mundD_i := (detL(b₁, ...,b_i))²: 1. Di−1bb_i ∈Z^m, 2. D_jµ_i,j ∈Zfür j < i.

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 3. Seien B = QR, Q⁰R⁰ =B⁰ QRZerlegungen. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

1. B,B⁰ sind isometrisch 2. R,R⁰ sind isometrisch 3. R^tR=R^0t·R⁰

4. R=R⁰

Punktzahl 5 für Aufgaben 1,2 und 8 für Aufgabe 3