Gitter und Kryptographie Blatt 9, 22.12.2010, Abgabe Mittwoch, 19.01.2011

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2010/11

Gitter und Kryptographie

Blatt 9, 22.12.2010, Abgabe Mittwoch, 19.01.2011 Aufgabe 1. Zeige α i ≤ α i+1 für i = 1, 2, . . . .

Hinweis: Zeige: jede HKZGNF R der Dimension i kann man zu einer HKZ GNF der Dimension i + 1 erweitern, so dass λ 1 erhalten bleibt und

r _1,1 ² /r ² _i,i ≤ (r _1,1 ^neu ) ² /(r ^neu _i+1,i+1 ) ² .

Aufgabe 2. Zeige: Der Algorithmus zur Semi Block 2k -Reduktion führt bei Eingabe einer LLL-Basis B = QR ∈ R ^m×hk höchstens ^h ₁₂

log _1/δ

α Itera- tionen aus bis D _B ≤ 1 erreicht ist, für D _B = _def Q h−1

`=1 (D <sub>`</sub> /D _`+1 ) ^h

^{/4−(h/2−`)}

. Hinweis: neues Skript Satz 6.2.4, Teil 2. Zeige für Schritt 3: D _B ^neu ≤ δ _B ^2k

D _B ^alt . Rucksack := {(a ₁ , . . . , a _n , s) ^t ∈ N ⁿ⁺¹ | n ∈ N , ∃x ∈ {0, 1} ⁿ : P n

i=1 a _i x _i = s}

Setze [B ⁰ , y] :=



















2 1

... ...

... ...

2 1

3 a ₁ · · · · · · 3 a _n 3 s



















∈ Z ⁽ⁿ⁺¹⁾

Aufgabe 3. Zeige (a ₁ , . . . , a _n , s) 6∈ Rucksack ⇒ ∀x ∈ Z ⁿ : kB ⁰ x − yk > √ n . Zeige konstruktiv: x ∈ Z ⁿ mit kB ⁰ x − yk ≤ √

2n liefert Rucksacklösung.

Hinweis: Kapitel 7 Skript, Satz 7.2.3.

Aufgabe 4: Zeige GAP - CVP √

1+8/n ist NPhart.

Hinweis: Benutze Aufgabe 3 und dass oenbar gilt:

(a ₁ , . . . , a _n , s) ^t ∈ Rucksack ⇒ ∃x ∈ Z ⁿ : kB ⁰ x − yk ≤ √ n.

5 Punkte pro Aufgabe