Gitter und Kryptographie Blatt 2, 03.11.2010, Abgabe Mittwoch, 10.11.2010

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2010/11

Gitter und Kryptographie

Blatt 2, 03.11.2010, Abgabe Mittwoch, 10.11.2010

Aufgabe 1. SeiB ∈R^m×nBasismatrix,RangB =n. ZeigeBist eindeutig zerlegbar alsB =QRmitQ∈R^m×nisometrisch undR= [r_i,j]∈R^n×nobere Dreiecksmatrix mit r_i,i >0 für i= 1, . . . , n.

Aufgabe 2. Sei A = A^t = [a_i,j] ∈ R^n×n regulär. Zeige, dass es eine ein- deutige Zerlegung A=R^tDR gibt, derart, dass R= [r_i,j]∈R^n×n eine obere Dreiecksmatrix ist (alsor_i,j = 0füri > jundr_i,i >0) undDDiagonalmatrix mit Diagonale (σ₁, . . . , σ_n)∈ {±1}ⁿ.

Aufgabe 3. Zeige für jede Basisb₁, ...,b_n ∈Z^mundD_i := (detL(b₁, ...,b_i))²: 1. Di−1b^∗_i ∈Z^m, 2. D_jµ_i,j ∈Zfür j < i.

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 4. Sei L ⊂ R^m Gitter der Dim. n und Bn(0, r) ⊂ span(L) die n-dim. Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius r. Zeige

limr→∞|L ∩ B_n(0, r)|/vol(B_n(0, r)) = _detL(B)¹

d.h. detL(B) ist der Kehrwert der Dichte der Gitterpunkte.

Hinweis: Satz 1.1.2 , Skript. Nach Aufgabe 1 gilt O.B.d.A. dass m =n.

Punktzahl pro Aufgabe: 4