Gitter und Kryptographie Blatt 1, 18.10.2007, Abgabe 25.10.2007

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08

Gitter und Kryptographie

Blatt 1, 18.10.2007, Abgabe 25.10.2007

Aufgabe 1. Sei A = A^t = (a_i,j) ∈ R^n×n regulär. Zeige, dass es eine ein- deutige Zerlegung A=R^tDR gibt, derart, dass R= (r_i,j)∈R^n×n eine obere Dreiecksmatrix ist (alsor_i,j = 0füri > jundr_i,i >0) undDDiagonalmatrix mit Diagonale (σ₁, . . . , σ_n)∈ {±1}ⁿ.

Induktionsanfang: a_1,1 =r_1,1² σ₁ und somit σ₁ = sign(a_1,1), r_1,1 = (a_1,1σ₁)^1/2.

Aufgabe 2. Sei A = A^t ∈ R^n×n regulär mit Zerlegung A = R^tDR nach Aufgabe 1. Zeige:

1. f_A(x)≥0 für alle x∈Rⁿ gdw σ₁ =· · ·=σ_n = 1 2. f_A(x)≤0 für alle x∈Rⁿ gdw σ₁ =· · ·=σ_n =−1 3. f_A ist indenit für x∈Rⁿ gdw ∃σ_i = 1, σ_j =−1.

Aufgabe 3. SeiA=A^t = (a_i,j)∈R^n×n regulär mit ZerlegungA=R^tDR nach Aufgabe 1. Zeige, dass für die Untermatrizen A_k := (a_i,j)1≤i,j≤k gilt:

1. A_k =R^t_kD_kR_k

2. σ₁· · ·σ_k = detA_k(detR_k)⁻² 3. σk = sign(detAk/detAk−1).