Gitter und Kryptographie Blatt 1, 19.04.2013, Abgabe Freitag, 26.04.2013

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Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013

Gitter und Kryptographie

Blatt 1, 19.04.2013, Abgabe Freitag, 26.04.2013

Aufgabe 1. Sei B = [b

_i,j

] ∈ R

^m×n

Basismatrix, vom Rang n . Gebe einen Algorithmus an, der die Matrizen Q = [q

_i,j

] ∈ R

^m×n

und R = [r

_i,j

] ∈ R

^m×n

der Zerlegung B = QR berechnet. Zeige, dass die Zerlegung eindeutig ist.

Aufgabe 2. Sei A = A

^t

= [a

_i,j

] ∈ R

^n×n

regulär. Zeige, dass es eine ein- deutige Zerlegung A = R

^t

DR gibt, derart, dass R = [r

_i,j

] ∈ R

^n×n

eine obere Dreiecksmatrix ist (also r

_i,j

= 0 für i > j ) mit r

_i,i

> 0 und D Diagonalmatrix mit Diagonale (σ

₁

, . . . , σ

_n

) ∈ {±1}

ⁿ

.

Aufgabe 3. Zeige für jede Basis b

₁

, ..., b

_n

∈ Z

^m

und D

_i

:= (det L(b

₁

, ..., b

_i

))

²

: 1. D

i−1

b

^∗_i

∈ Z

^m

, 2. D

_j

µ

_i,j

∈ Z für j < i .

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.

Aufgabe 4. Sei L ⊂ R

^m

Gitter der Dim. n und B

n

(0, r) ⊂ span(L) die n -dim. Kugel mit Mittelpunkt 0 und Radius r . Zeige

lim

r→∞

|L ∩ B

_n

(0, r)|/vol(B

_n

(0, r)) = 1/ det L

d.h. 1/ det L ist die Dichte der Gitterpunkte, also die Anzahl der Gitterpunk- te pro Volumeneinheit on span(L) .

Hinweis: Satz 1.1.2 , Skript. Nach Aufgabe 1 gilt O.B.d.A. dass m = n .

Punktzahl pro Aufgabe: 4