Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016
Gitter und Kryptographie
Blatt 3, 29.04.2016, Abgabe Freitag 06.05.2016
Aufgabe 1. Sei Ri die Untermatrix der ersten i Zeilen und Spalten von R8 (Skript Seite 21). Zeige mittels Lemma 2.2.3 dass λ21(L(Ri)) = 2 für i= 1, ...,8. Zeige die Übereinstimmung vonλ21/det(Ri)2/imit den Werten γi der Tabelle 2.2.2.
Aufgabe 2. Sei Bi die Untermatrix der ersten i Zeilen und Spalten der BasisB24des Leech-Gitters Zeige mitteLl Lemma 2.2.3 dassλ21(L(Bi))∈2N für i= 2, ...,23. Wie kommt man zu λ21(L(Bi))∈4N ?
Aufgabe 3. Sei B=
1 0
0 1
aN bN
Basismatrix mit a, b, N ∈ Z. Zeige:
1. detL(B) = (1 +N2(a2+b2))1/2, 2. λ1(L(B))2 ≤a2+b2 3. Für N2 > a2+b2 gilt für jede Gauss-reduzierteBasis b1,b2 :
b1 = (∗,∗,0)t, b2 = (∗,∗, N ·ggT(a, b))t.
Hinweiszu 2. Es gilt±(b,−a,0)t ∈ L(B). Benutze zu 3.: Der Eukl. Alg. löst
[a, b]
c d e f
= [0,ggT(a, b)]so dass c2+e2, d2 +f2 ≤a2+b2.
Punktezahl 5,5,8 für Aufgabe 1,2,3
