Gitter und Kryptographie Blatt 7, 01.06.2018, Abgabe 08.06.2018

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2018

Gitter und Kryptographie

Blatt 7, 01.06.2018, Abgabe 08.06.2018 Identikation (P, V ) _MV

(geh. Schl. w mit ||Bw − y|| ≤ t , u = y − Bw , (B, y, t) ist JA - Instanz ) 1. P wählt r _i ∈ _R B _m (0, γt/2 − t) ∩ Z ^m für i = 1, ..., k verschiebt r _i zu

m i := r i + Bv i ∈ P (B) (Grundmasche) und sendet m 1 , ..., m k an V . 2. V sendet q = (q ₁ , . . . , q _k ) ∈ _R {0, 1} ^k

3. P sendet für i = 1, . . . , k : den Vektor Bv _i − q _i (u + y)

4. V akzeptiert wenn ||m _i − Bv _i + q _i (u + y) − q _i y|| ≤ γt/2 für i = 1, . . . , k . Korrektheit: V akzeptiert immer, wenn P dem Protokoll folgt (gilt weil

||m _i − Bv _i + q _i (u + y) − q _i y|| = ||m _i − m _i + r _i + q _i u|| ≤ ||r _i || + ||u|| ≤ γt/2 − t + t = γt/2 ).

Aufgabe 1: Der triviale P ^∗ hat mit Ws 2 ^−k Erfolg, indem er q = (q ₁ , . . . , q _k ) errät und m ₁ , . . . , m _k entsprechend" bestimmt. Die Ws bezieht sich auf die Zufallsbits von P ^∗ .

Aufgabe 2. Angenommen P ^∗ kennt zu m i Werte v i,q ∈ Z ⁿ so dass

||m _i −Bv _i,q −qy|| ≤ γt/2 für q ∈ {0, 1} . Dann gilt ||Bv _i,0 −Bv _i,1 −y|| ≤ γt . Aufgabe 3. Skizziere einen Extraktor AL ^P

zum pol.- Zeit P ^∗ von Auf- gabe 2. P ^∗ bestehe mit Ws ¹ ₂ (1 + ε) für beide q _i ∈ {0, 1} den Test ||m _i − Bv _i + q _i (u + y)|| ≤ γt/2 . Zeige dass AL ^P

die von P ^∗ in Schritt 3 gesendeten erfolgreichen Werte Bv _i,q

− q _i (u + v) für beide q _i = 0, 1 und ein geeignetres i mit 1 ≤ i ≤ k extrahiert so dass ||Bv _i,0 − Bv _i,1 − y|| ≤ γt .

Punktzahl pro Aufgabe 1, 2, 3 : 4, 4, 6