Gitter und Kryptographie Blatt 3, 02.11.2007, Abgabe 09.11.2007

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2007/08

Gitter und Kryptographie Blatt 3, 02.11.2007, Abgabe 09.11.2007

Aufgabe 1. Sei L ⊂ R^m Gitter der Dim. n und B_m(0, r) ⊂ R^m die m- dim. Kugel mit Mittelpunkt0 und Radiusr. Zeige

limr→∞|L ∩ B_m(0, r)|/vol(B_m(0, r)) = _detL(B)¹

d.h.detL(B)ist der Kehrwert der Dichte der Gitterpunkte.

Hinweis: Satz 1.1.2 , Skript.

Im Folgenden seiB =QR, Q= (qi,j)∈R^m×n, R = (ri,j)∈R^n×n QR Zerlegung der BasisB = (b₁, . . . ,b_n)∈R^m×n.

Aufgabe 2. Zeige:

1. Für Q_k:= (qi,j)1≤i≤m,1≤j≤k,R_k := (ri,j)1≤i,j≤k, B_k:= (b1, . . . ,b_k) ist Bk=QkRk dieQRZerlegung.

2. Zeige die Eindeutigkeit derQRZerlegung, z.B. durch Induktion überk.

Aufgabe 3. Gib ein Verfahren an, welches zu gegebener BasisB = (bi,j)∈ R^m×ndieQRZerlegungB =QRliefert, mit Operationen + ,·,/, sqrt. Zähle die Anzahl der Operationen.

Aufgabe 4. Zeige: Für b₁, ...,b_n∈Z^m,D_i:= detL(b₁, ...,b_i)² gilt:

1. Di−1b^∗_i ∈Zⁿ,

2. Djµi,j ∈Z fürj < i.

Hinweis: Lemma 4.2.3, Skript.