Gitter und Kryptographie Blatt 6, 01.12.2010, Abgabe Mittwoch, 08.12.2010

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2010/11

Gitter und Kryptographie

Blatt 6, 01.12.2010, Abgabe Mittwoch, 08.12.2010

Aufgabe 1. Zeige für folgende Basis: 1. kb 1 k ² = α

det(L) ^2/n . 2. Die Basis ist LLL-reduziert für δ und α = (δ − ¹ ₄ ) ⁻¹ , ρ := 1/ √

α :

[b, . . . , b _n ] =





























1 1/2 0 · · · · · · 0 0 ρ ρ/2 · · · · · · ...

... ... ρ ² ... ...

... ... ... ... 0

... ... ρ ⁿ⁻² ρ ⁿ⁻² /2 0 · · · · · · · · · 0 ρ ⁿ⁻¹





























∈ R ^n×n .

(Damit ist die Schranke für kb ₁ k ² von Korollar 4.1.5 (1) scharf.)

Aufgabe 2. Alg. 3 zur LLLReduktion transformiert linear abhängige Eingabevektoren b ₁ , . . . , b _n ∈ Z ^m in [b ₁ , . . . , b _n ]U = [0 ⁱ , b ⁰ _i+1 , . . . , b ⁰ _n ] mit U ∈ GL n ( Z ) , so dass b ⁰ _i+1 , . . . , b ⁰ _n eine LLLBasis ist.

Denition. Das duale (polare oder reziproke) Gitter L ^∗ zum Gitter L ist L ^∗ = {x ∈ span(L) | hx, bi ∈ Z für alle b ∈ L}.

Aufgabe 3: Zeige für R ^−t := (R ⁻¹ ) ^t = (R ^t ) ⁻¹

1. Ist T : R ^m → R ^m isometrisch, dann gilt (T (L)) ^∗ = T (L ^∗ ) . 2. Für jede QR Zerlegung B = QR gilt L(QR) ^∗ = L(QR ^−t ) . 3. det L ^∗ = 1/ det L .

Hinweis: Kap. 1.2, Skript

Punktzahl pro Aufgabe: 6